13.3.1-等腰三角形的性质和应用.pptVIP

你学会了吗? ※对自己说，你有什么收获？ ※对同学说，你有什么提示？ ※对老师说，你有什么疑惑？ 边城高级中学 张秀洲 下列图形中哪些图形是轴对称图形? 情境导入 轴对称图形有：圆、矩形、正方形、等腰梯形、 等腰三角形、等边三角形 【活动1】 1.什么是轴对称图形？ 2.什么样的三角形是轴对称图形？ 有两边相等的三角形是轴对称图形，也就是等腰三角形. 【活动1】 情境导入 探究新知 如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,将三角形部分剪下展开,得到的△ABC有什么特点? A B C 有两条边相等 AB=AC D AB、AC是腰——相等的两边 BC是底——除两腰外的一边 ∠A是顶角——两腰的夹角 ∠B和∠C是底角——腰与底的夹角 有两边相等的三角形叫做等腰三角形. (如AB=AC， △ABC为等腰三角形) 概念： 把剪出的等腰△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表： 你能发现等腰三角形具有什么性质吗？ 重合的线段 重合的角 AB和AC ∠B和∠C BD和CD ∠BAD和∠CAD 【活动2】 A B C D 性质1：等腰三角形的两个底角相等。 （简写为“等边对等角”）. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合。 （简称为“三线合一”）. 等腰三角形的性质: 探究新知 如图，在△ABC中，AB=AC,求证：∠B=∠C. A B C 你能用所学知识验证上述性质吗？ 分析：要证明∠B=∠C，可以把∠B，∠C放在两个全等三角形中，如何把△ABC构造成两个全等的三角形？ 【活动3】 已知：如图，△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. A B C D 证明：作BC边上的中线AD 在△ABD和△ACD中， AB=AC （已知） AD=AD （公共边） BD=CD （辅助线作法） ∴ △ABD≌△ACD （SSS） ∴∠B=∠C （全等三角形的对应角相等） 第一种证法 已知：如图，△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. D 证明：作顶角的角平分线AD， 在△BAD和△CAD中， AB=AC （已知） ∠1=∠2 （辅助线作法） AD=AD （公共边） ∴ △BAD≌△CAD （SAS） ∴∠B=∠C （全等三角形的对应角相等） 1 2 A B C 第二种证法 第三种 A B C D ┌ 作△ABC的高线AD，垂直底边BC于D 你还有其他的证明方法吗？ 你能写出证明过程吗？ 类比性质1的证明,你能证明性质2吗? A B C D ┌ 由△BAD≌△CAD ,还可以得出∠BAD=∠CAD, ∠ADB=∠ADC=90°，从而得到AD ⊥ BC,也就证明了等腰三角形底边上的中线、高、顶角平分线互相重合. 你还有其他证明方法吗？ （1）∵在△ABC中，AB=AC, ∴∠B=∠C. A B C 等腰三角形的性质: 数学语言 A B C D ┌ （2）∵在△ABC中，AB=AC,AD ⊥BC ∴BD=CD ,∠BAD=∠CAD 等腰三角形三线合一 例 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上， 且 BD=BC=AD.求△ABC各角的度数. 分析: (1)∠ABC= ∠ACB= ∠BDC= ∠A+∠ABD (2) ∠A=∠ABD (3) ∠A + 2∠C=180° 应用提高 解： ∵AB=AC， BD=BC=AD ∴∠ABC=∠ACB=∠BDC， ∠A=∠ABD 设∠A=x,则 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180° 解得 x=36° 故在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72° 1.如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们底角的度数. 72° 30° 《教材》P77 练习： 2.如图，△ABC是等腰三角形(AB=AC,∠BAC=90°)，AD是底边BC上的高，求出∠B,∠C， ∠BAD, ∠DAC的度数，并写出图中所有相等的线段. 解：∵AB=AC， ∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° ∵AB=AC,AD BC ⊥ ∴∠BAD=∠CAD=45° 相等