13、第十二章-动量矩定理1.ppt

1 解：取一微元dx ∵ ∴ 对杆端，有： 例：均质杆质量为m，长为l，求对质心轴C的转动惯量。 C dx x O x z §11-5. 刚体定轴转动的微分方程 将质点系的动量矩定理 应用于刚体定轴转动的情形，有： 及定轴转动的动量矩 即为刚体定轴转动的微分方程。 刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于 作用于刚体上的主动力对该轴的矩的代数和。 由上可知： 1、如果作用于刚体上的主动力对转轴的力矩的代数和不等于零，则刚体的转动状态一定发生改变； 2、如果作用于刚体上的主动力对转轴的矩的代数和等于零，则刚体作匀速转动，如果主动力对转轴的矩的代数和为恒量，则刚体作匀速转动。 3、在一定的时间间隔内，当主动力对转轴的矩一定时，刚体的转动惯量越大，转动状态变化越小，转动惯量越小，转动状态变化大。 刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态的难易 程度，因此说，转动惯量是刚体转动时惯性的度量。 刚体转动微分方程可以解决两类问题： 1、已知刚体的转动规律，求作用于刚体上的主动力； 2、已知作用于刚体上的主动力，求刚体的转动规律。 例：半径为R、质量为m的均质圆轮绕质心轴z以匀角速ω0转动。今欲制动，闸瓦压力Q、摩擦系数f，求制动所需时间。 Q ω0 O 解：研究轮子，分析受力： F mg YO XO 列出动力学方程： 问：制动过程中，轮子转过了多少圈？ §11-6. 质点系相对于质心的动量矩定理 上式即为质点系相对于质心C的动量矩定理，其形 式与对固定点的动量矩定理完全相同。（证明从略） 质点系对任一点O的动量矩等于集中于系统质心的动量 对于点O的动量矩再加上此系统对于质心C的动量矩Lc(为矢量和） §11-7. 刚体平面运动的微分方程 刚体的平面运动可以分解为随任选基点的平动和绕 该基点的转动。 若以质点系的质心C为基点，则随质心C 的平动用质心运动定理、绕质心C的转动用相对于质心的 动量矩定理，即得刚体平面运动的微分方程： 其投影式为： 或： 实际上，动量矩定理除了对固定点O、固定轴z、质心C可以取矩外，还可以对瞬心P取矩，但是要求瞬心P到质心C的距离保持为常量，其公式的形式不变。 O： 固定点 z： 固定轴 C： 质心 P： 瞬心，要求PC=常量 在圆轮作纯滚动及椭圆规机构中， 此式显得特别方便。 例：如图所示，两均质圆轮半径分别为rA和rB ，重为PA和PB ，鼓轮B上作用主动力偶矩M，A轮与斜面间无相对滑动，求B轮从静止开始转过φ角时的角速度ωB及支座B处的反力。 α B A M PA PB 解： 先研究B，作受力图： YB XB T （1） εB 再研究A N T F εA （2） （3） x y 再列补充方程—— 一般为运动学关系： （4） （5） 以上5个未知量均可求解。从中解出εB为常量，则有： 欲求支座反力，则需对轮B列质心运动定理： （6） （7） B M PB YB XB T x y 概念题. 圆轮重Q ， 受外力作用，问地面光滑和有摩擦时，圆轮质心如何运动? F F F ? ? 1).地面光滑时: 左图质心保持不动，因为水平方向的和外力为零; 右图质心将沿力F方向运动. 2).地面有摩擦时:左图质心将向右运动， 右图中: a.若主动力F≤Nf，则质心不动; b.若主动力F＞Nf，则质心向右运动. 概念题. 1、 两相同的均质圆轮绕质心轴转动，角速度分别为ω1和ω2，且ω1 ω2 ，问 ： 1）哪个动量大? 分别为多少? 2）哪个动量矩大? 分别为多少? 答：1）一样大，均为0 2）Jω1Jω2 2、汽车为何不能在光滑的水平路面上行使？ 答：系统在水平方向无外力，质心在水平面运动守恒。 概念题. 1、均质圆轮半径均为r，求在下列不同形式下的动量、对O点的动量矩。 ω ω ω 只滚不滑 C C O O O 答：1）动量： 0、 mrω、 mrω 2）动量矩： Joω 、Joω、 Joω 2、三个质点的质量同为m，同时自点A以相同的速度v0沿不同的方向抛出，问该三点落到水平面时的速度的大小和方向是否相同？ 答：JZε=Pr ，两系统的转动惯量不同，所以角加速度不同。 概念题.