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* * Email: yc517922@126.com 图论及其应用 任课教师：杨春 数学科学学院 本次课主要内容 (一)、色多项式概念 (二)、色多项式的两种求法 着色的计数与色多项式 (三)、色多项式的性质 所谓色计数，就是给定标定图G和颜色数k,求出正常顶点着色的方式数。方式数用Pk(G)表示。 (一)、色多项式概念 可以证明：Pk(G)是k的多项式，称为图G的色多项式。 由点色数 和色多项式Pk(G)的定义可得： (1) 若 ，则Pk(G)=0 ; (2) 若G为空图，则Pk(G)=kn。 (3) Pk(Kn)=k(k-1)…(k-n+1)。 1、递推计数法 (二)、色多项式的两种求法 定理1 设G为简单图，则对任意 有： 证明：设e=uv。则对G-e的着色方式数可以分为两部分： (1) u与v着不同颜色。此时，等于G的着色方式数； (2) u与v着同色。此时，等于G·e 的着色方式数； 所以，得： 推论：设G是单图，e=uv是G的一条边，且d(u)=1,则： 证明：因为G是单图，e=uv, d(u)=1,所以G·e = G-u。 另一方面，Pk(G-e)=kPk(G-u) 所以， 注：对递推公式的使用分析： (1) 当图G的边数较少时，使用减边递推法： (2) 当图G的边数较多时，使用加边递推法： 例1 求出下面各图的色多项式。 G1 G3 G2 (1) G1 也可由推论： G1 (2) G2 (3) G3 — — 注：递推计数法的计算复杂度是指数型的。 2、理想子图计数法 (1) 预备知识 定义1：设H是图G的生成子图。若H的每个分支均为完全图，则称H是G的一个理想子图。用Nr(G)表示G的具有r个分支的理想子图的个数。 例2 求N4(G), N5(G)。 G 解：通过观察枚举求Nr(G) G 1) N4(G): G N4(G)=6 2) N5(G): G N5(G)=5 定理2 设qr(G)表示将单图G的顶点集合V划分为r个不同色组的色划分个数，则： 证明：一方面，设G的任一r色划分为：｛V1,V2,…,Vr｝。于是，对于1≦i≦r, 是 的完全子图。 因为Vi∩Vj=Φ(i≠j),所以 是 的理想子图。 这说明：G的任一r色划分必然对应 的一个理想子图。容易知道，这种对应是唯一的； 另一方面，对于 的任一具有r个分支的理想子图，显然它唯一对应G中一个r色组。 所以，我们得到： 上面定理2实际上给出了色多项式的求法：用k种颜色对单图G正常着色，可以这样来计算着色方式数：色组为1的方式数+色组为2的方式数+…+色组为n的方式数。即有如下计数公式： (2) 色多项式求法----理想子图法 定义2 ：设G是单图，令Ni(G)=ri , [k]i=xi 。称 为图G的伴随多项式。 于是，求Pk(G)就转化为求 的伴随多项式。 用理想子图法求Pk(G)的步骤如下： (1) 画出G的补图 (2) 求出关于补图的 (3) 写出关于补图的伴随多项式 (4) 将 代入伴随多项式中得到Pk(G)。 例3 求下图G的色多项式Pk(G)。 G 解：(1) G的补图为： (2) 求出关于补图的伴随多项式系数ri (1≦i≦6) 1) r = 6 2) r = 5 3) r =4 4) r = 3 5) r =2 6) r =1 (3) 写出关于补图的伴随多项式 (4) 将 代入伴随多项式中得到Pk(G)。 可以作如下计算： 由此可以断定： 。最优着色方式数有12种。 使用理想子图法求色多项式，还可以通过如下定理进行改进。 定理3 若G有t个分支H1,H2,…Ht,且Hi的伴随多项式为h (Hi, x), i=1,