线性代数电子教案《第3章》.ppt

即: 向量组中线性无关的部分组不唯一存在； 线性无关的部分组包含向量的个数也可能不一样. 考察向量组 可见 线性无关, 线性无关, 线性无关, 另外 这里,具有这样特性 （线性无关、其余向量都可由其线 性表示）的 就是以下要引入的最大线性无关组. 1. 向量组的最大无关组、秩的概念 (2)* 该向量组中任意r+1个向量（如果有的话）都线 性相关. 注意: “最大”是指该部分组是向量组中包含向量个数 “最多”的线性无关向量组. 等价 则称 为向量组的一个最大线性无关组. 若一个向量组的部分组 满足 (2)向量组中任何一个其它的向量可以由 线性表示, (1)线性无关; 定义3.5.1 由零向量组成的向量组没有最大无关组; 在包含非零向量的向量组中有最大无关组,且最大无关组所含向量个数不小于1; 线性无关向量组的最大无关组是这个向量组本身. 一个向量组的最大无关组可能不是唯一的; 与向量组 返回 *天津商学院 第3.4节 向量组的线性相关性 线性组合和线性表示 等价 向量组线性相关和线性无关 (2) 向量组中任意向量可以由该向量组“线性表示”. (1) 零向量是任意向量组的“线性组合”. 例3.4.1 首先举例说明线性表示 、线性组合等概念 1. 线性表示 线性组合 等价 (3) 若 则 任意向量可由基本单位向量组“线性表示”. 定义3.4.1 设 s 个向量 任意s个常数 表达式 称为这向量组 的线性组合 . 若对已知向量 有常数 使得 则称向量 可以由 线性表示,或线性表出. 根据定义1,有非零解的齐次线性方程组的通解的意义为:方程组的任一解都可由方程组的基础解系线性表示;或者说基础解系的线性组合刻划了齐次线性方程组的全部解. 定义3.4.2 若向量组(Ⅰ) 中每个向量均可由 向量组 (Ⅱ) 线性表示, 则称向量 组(Ⅰ) 可以由向量组(Ⅱ)线性表示. 若向量组(Ⅰ) 与向量组(Ⅱ)可以相互线性表示,则称这两个向量组等价. 显然,这种等价关系具有反身性、对称性、传递性. 方程组有解 R( A )=R ( A ) 定理3.4.1 等价向量组所生成的空间相等. 可以证明: B 证明 设 (2) (1) B 解 考虑 即非齐次线性方程组 对方程组的增广矩阵进行初等行变换,得 方程组有唯一解: 解 令矩阵 对矩阵进行初等行变换,得 返回 继续用初等行变换将矩阵化为行最简形矩阵,可得 这是无穷多种表达式之中的一个. 课堂练习 练习答案或提示 返回 2. 向量组线性相关和线性无关 当且仅当 时上式成立, 则称 线性无关. 对向量组 ,若存在不全为零的实数 则称 线性相关;否则称为线性无关,即 使得 定义3.4.3 证明 设 是其余s-1向量的线性组合,即 ( 不全为零) 显然, 即: 线性相关. 设 　线性相关,既存在不全为零的 使得 不妨设 则 即: 可由 线性表示. (2) (1)显然.