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* * Email: yc517922@126.com 图论及其应用 任课教师：杨春 数学科学学院 本次课主要内容 (二)、边独立集与边覆盖 拉姆齐问题简介 (一)、独立集与覆盖 (四)、拉姆齐数r (m, n) (三)、点临界图与边临界图 1、概念 定义1 设G=(V ,E)是一个图。V的一个顶点子集V1称为G的一个点独立集,如果V1中的顶点互不邻接； (一)、独立集与覆盖 G的一个包含顶点数最多的独立集称为G的最大独立集。最大独立集包含的顶点数，称为G的点独立数，记为α(G)。 v2 v1 v6 v5 v4 v3 v8 v7 G的一个独立集 v2 v1 v6 v5 v4 v3 v8 v7 G的一个最大独立集 定义2 设G=(V ,E)是一个图。V的一个顶点子集K称为G的一个点覆盖,如果E中的每条边至少有一个端点在K中。 G的一个包含顶点数最少的点覆盖称为G的最小点覆盖。最小点覆盖包含的顶点数，称为G的点覆盖数，记为β(G)。 v2 v1 v6 v5 v4 v3 v8 v7 G的一个点覆盖 v2 v1 v6 v5 v4 v3 v8 v7 G的一个最小点覆盖 定理1 (加莱) 对任意不含孤立点的n阶图G，有： 2、加莱恒等式 α(G)+ β(G)= n 证明：一方面，设V1是G的最大点独立集。因为G中每条边的端点最多一个在V1中，所以G中每条边的端点至少有一个在V-V1中。即V-V1构成G的一个点覆盖，于是有： β(G)≦｜V-V1｜=n - α(G) 另一方面，设K是G的最小点覆盖。因为G中每条边的端点至少有一个在K中，所以G中每条边的端点至多有一个在V-K中。即V-K构成G的一个点独立集，于是有： α(G) ≥｜V-K｜=n - β(G) 由上面两个不等式，得到： α(G)+ β(G)= n (二)、边独立集与边覆盖 1、概念 定义3 设G=(V ,E)是一个图。E的一个边子集E1称为G的一个边独立集,如果E1中的边互不邻接； G的一个包含边数最多的边独立集称为G的最大边独立集。最大边独立集包含的边数，称为G的边独立数，记为 α‵(G) 。 注：一个边独立集实际上就是图的一个匹配，一个最大边独立集就是图的一个最大匹配。 G的一个边独立集 G的一个最大边独立集 定义4 设G=(V ,E)是一个图。E的一个边子集 L 称为G的一个边覆盖,如果G中的每个顶点均是L中某条边的端点。 G的一个包含边数最少的边覆盖称为G的最小边覆盖。最小边覆盖包含的边数，称为G的边覆盖数，记为β‵(G) 。 G的一个边覆盖 G的一个最小边覆盖 2、加莱恒等式 定理2 (加莱) 对任意不含孤立点的n阶图G，有： α‵(G)+ β‵(G)= n 证明：一方面, 设α‵(G)= k ,则G的最大匹配由k条边组成，且覆盖了2k个顶点。 所以，余下的n-2k个顶点至多需要n-2k条边就可以被覆盖，于是： β‵(G)≦k+(n-2k)=n-k。 所以，α‵(G)+ β‵(G)≦ k+ (n - k)= n 另一方面, 设X是G的一个最小边覆盖，则 ｜X｜= β‵(G)。 考虑导出子图F = G[X]。可以证明F中不会包含长度为3的迹。 若不然，设F中包含长度为3的迹。取该迹的中间边e，显然，X-e仍然构成G的边覆盖，与X的最小性矛盾。 所以，F中不包含长度为3和大于3的迹。也不包含圈。 所以，F中的每个连通分支必然为星图。F是森林。 因为，阶数为n，边数为n-k的森林包含k个连通分支。而F的边数为n - (n- β‵(G)) ，所以F有n- β‵(G)个分支。 从F的每个分支中选取一条边，可作成G的一个匹配，所以α‵(G) ≥ n- β‵(G)。 由上面两个不等式，得到： α‵(G)+ β‵(G)= n。 例1 确定下图G的 α(G)， β(G)， α‵(G) ， β‵(G)。 1 4 3 2 5 6 7 G 解：顶点2的左右两部分均是K4, 所以可以推知α(G)=2，再由加莱恒等式得： β(G) = 5 。 定理3 设G是无孤立点的偶图，则G中最大点独立集包含的顶点数等于最小边覆盖所包含的边数。 1 4 3 2 5 6 7 G 又因为G的阶数为7,所以，G的最大匹配包含的边数不会超过3，即α‵(G) ≦3; 而在G中找出了匹配：｛16，23，45｝，所以α‵(G