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高考热点问题3:抽象函数问题 浙江省学军中学 郑日锋 抽象函数问题是函数中的难点问题，它具有综合性强，往往综合函数的概念、定义域、 值域、对应关系及函数的基本性质，又有较大的灵活性，需构造函数、利用特殊化思想、推 理与论证及分析问题与解决问题的能力。 题16 合理赋值 推理论证 1 若定义在R 上的函数 对任意实数 均有 ， ， f (x) a,b f (a b ) f (a )f (b ) f (4) 16 当x  0 时，f (x)  1. 2 1 （1）求证：f (x) 0(x R) ；(2)求不等式f (x 3) f (5 x )  的解集. 4 【问题特征】抽象函数的不等式问题 【尝试解答】 （1）思路 赋值法 （2）思路 先判断f (x ) 的单调性，再利用单调性解不等式。 【注意点】 1.解决抽象函数问题，可以先找到满足条件的一个函数，解题的目标会更明确，思路也 1 会更清晰，如函数f (x ) ( )x 是满足条件的一个函数； 2 2.赋值法是解决抽象函数问题的基本策略。 【相关问题】 定义在非零实数集上的函数 满足 ，且当x 1时， f (x) f (xy ) f (x) f (y ) f (x ) 0 1 （1）判断f (x) 的奇偶性；（2 ）解不等式：f (x) f (x  )  0 2 题17 代换思想 立竿见影 若 和 都是定义在实数集 上的函数，且方程 有实数解， f (x ) g (x) R x  f [g (x )] 0 则g [f (x )]不可能是（ ） 2 1 2 1 2 1 2 1 （A）x x  （B）x x  (C) x  (D) x  5 5 5 5 【问题特征】抽象函数的不动点问题 【尝试解答】 思路 利用方程的实根的定义及代换思想 【注意点】 x 1.把满足f (x ) x 的 叫做函数f (x ) 的不动点，本题条件实际上是函数f [g (x )]有不 动点，解题过程运用了代换思想，代换思想是解决函数问题的重要思想； 2.一般情况下，复合函数f [g (x )]与g [f (x )]不是同一个函数。 【相关问题】 已知