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常微分方程、拉氏变换与级数实验
[学习目标]
1. 会用Mathematica 求解微分方程（组）；
2. 能用Mathematica 求微分方程（组）的数值解；
3. 会利用Mathematica 进行拉氏变换与逆变换；
4. 能进行幂级数和傅里叶级数的展开。
一、 常微分方程（组）
Mathematica 能求常微分方程 （组）的准确解，能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围，
功能很强。但不如人灵活（例如在隐函数和隐方程的处理方面），输出的结果与教材上的答
案可能在形式上不同。另外，Mathematica 求数值解也很方便，且有利于作出解的图形。在本
节中，使用 Laplace 变换解常微分方程（组）的例子也是十分成功的，过去敬而远之的方法
如今可以轻而易举的实现了。
求准确解的函数调用格式如下：
DSolve[eqn ，y[x] ，x] 求方程 eqn 的通解y （x ），
其中自变量是 x 。
DSolve[{eqn ，y[x ]= =y }，y[x] ，x] 求满足初始条件y （x ）= y
0 0 0 0
的特解y （x ）。
DSolve[{eqn1 ，eqn2，…}，{y [x]，y [x]，…}，x] 求方程组的通解。
1 2
DSolve[{equ1 ，…，y [x ]= =y ，…}，{y [x]，y [x]，…}，x] 求方程组的特解。
1 0 10 1 2
说明：应当特别注意，方程及各项参数的表述方式很严格，容易出现输入错误。微分方
程的表示法只有通过例题才能说清楚。
例1 解下列常微分方程（组）：
5 2
2y 2 1y y z
y x
（1） ( 1) ，（2 ）y 3 ， （3 ） ，
x 1 (x x )y z y
y z
（4 ） 的通解及满足初始条件y （0 ）=0 ，z （0 ）=1 的特解。
z y
解：In[1] ：=DSolve[y ′[x]= =2y[x]/ （x+1 ）+ （x+1 ）^ （5/2 ），
y[x] ，x]
2 7 / 2 2
Out[1]= [ ]
y x (1x) (1x) c[1]
3
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