同济大学(高等数学)_第六篇_多元微积分学.doc

实用标准文案 PAGE 文档 第六篇 多元微积分学 第九章 多元函数微分学及其应用 我们以前学习的函数只有一个自变量，这种函数我们称为一元函数．一元函数的微积分解决了很多初等数学无法解决的问题．但是，在实际问题中往往牵扯到多方面的因素，解决这类问题必须引进多元函数．本章将在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分及其应用．从一元函数的情形推广到二元函数时会产生一些新的问题，而从二元函数推广到二元以上的多元函数则可以类推．通过本章的学习，学生要掌握多元函数微分学的基本原理以及解决几何、经济与管理、工程等领域的实际问题的具体方法. 第1节 多元函数的基本概念 1.1 平面点集 为了介绍二元函数的概念，有必要介绍一些关于平面点集的知识，在一元函数微积分中，区间的概念是很重要的，大部分问题是在区间上讨论的．在平面上，与区间这一概念相对应的概念是邻域． 1.1.1 邻域 设是平面上的一定点，是某一正数，与点的距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，即 , 亦即 ． 在几何上表示以为中心，为半径的圆的内部(不含圆周)． 上述邻域去掉中心后，称为的去心邻域，记作． . 如果不需要强调邻域的半径，则用表示点的邻域，用表示的去心邻域． 1.1.2 区域 下面用邻域来描述平面上的点与点集之间的关系． 设是平面上的一个点集，是平面上的一点，则与的关系有以下三种情形： (1) 内点：如果存在的某个邻域，使得，则称点为的内点． (2) 外点：如果存在的某个邻域，使得，则称为的外点． (3) 边界点：如果在点的任何邻域内，既有属于的点，也有不属于的点，则称点为的边界点．的边界点的集合称为的边界，记作． 例如：点集，除圆心与圆周上各点之外圆的内部的点都是的内点，圆外部的点都是的外点，圆心及圆周上的点为的边界点；又如平面点集，直线上方的点都是的内点，直线下方的点都是的外点，直线上的点都是的边界点(图9—1)． 图9—1 显然，点集E的内点一定属于E；点集E的外点一定不属于E；E的边界点可能属于E，也可能不属于E． 如果点集E的每一点都是E的内点，则称E为开集，点集是开集，不是开集． 设E是开集，如果对于E中的任何两点，都可用完全含于E的折线连接起来，则称开集E是连通集(图9—2) ．点集E1和E2都是连通的，点集不是连通的(图9—2)． 图9—2 连通的开集称为开区域(开域)． 从几何上看，开区域是连成一片的且不包括边界的平面点集．如E1是开区域．开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广． 开区域E连同它的边界构成的点集，称为闭区域(闭域)，记作 (即)． 闭区域是数轴上的闭区间这一概念在平面上的推广．如E2及都是闭域，而既非闭域，又非开域．闭域是连成一片的且包含边界的平面点集． 本书把开区域与闭区域统称为区域． 如果区域E可包含在以原点为中心的某个圆内，即存在正数，使，则称E为有界区域，否则，称E为无界区域．例如E1是有界区域，E2是无界区域． 记E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点．如果点P的任一邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点．显然，E的内点一定是E的聚点，此外，E的边界点也可能是E的聚点．例如，设，那么点既是的边界点又是的聚点，但的这个聚点不属于；又如，圆周上的每个点既是的边界点，也是的聚点，而这些聚点都属于．由此可见，点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．再如点，原点是它的聚点，中的每一个点都不是聚点． 1.1.3 n维空间Rn 一般地，由n元有序实数组的全体组成的集合称为n维空间，记作Rn．即 ． n元有序数组称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标． 类似地规定，n维空间中任意两点与之间的距离为 ． 前面关于平面点集的一系列概念，均可推广到n维空间中去，例如，，δ是某一正数，则点的δ邻域为 ． 以邻域为基础，还可以定义n维空间中内点、边界点、区域等一系列概念． 1.2 多元函数的概念 1.2.1 n元函数的定义 定义1 设D是中的一个非空点集，如果存在一个对应法则f , 使得对于D中的每一个点，都能由f 唯一地确定一个实数y，则称f为定义在D上的n元函数，记为 ． 其中叫做自变量，y叫做因变量，点集D叫做函数的定义域，常记作． 取定，对应的叫做所对应的函数值．全体函数值的集合叫做函数f的值域，常记为［或］，即 ． 当n=1时，D为实数轴上的一个点集，可得一元函数的定义，即一元函数一般记作；当n=2时，D为平面上的一个点集，可得二元函数的定义，即二元函数一般记作，若记，则也记作． 二元及二元以上的函数统称为多元函数．多元函数的概念与一元函数一样，包含对应法则和定义域这两个要素． 多元函数的定义域的求法，与一元函数类似．若函数的自变量具有某种实际意义，则根据它的实际意义