中考数学中地最值问题解法.doc

实用标准文案 PAGE 文档 中考数学几何最值问题解法 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。 应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值 典型例题： 例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】 A．　　　B．　　　C．5　　　D． 【答案】A。 【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD， ∵OD≤OE+DE， ∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大， 此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1。 DE=， ∴OD的最大值为：。故选A。 例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 ▲ 。 【答案】4。 【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。 ∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。 在△AME与△AMN中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM， ∴△BME≌△BMN（SAS）。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。 又∵CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。 ∵BC=，∠ABC=45°，∴CE的最小值为sin450=4。 ∴CM+MN的最小值是4。 例3.（2011四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为，高为，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为 ▲ 。 【答案】。 【考点】圆柱的展开，勾股定理，平行四边形的性质。 【分析】如图，圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线，第一条斜线与底面圆周长、高组成直角三角形。由周长公式，底面圆周长为，高为，根据勾股定理，得斜线长为，根据平行四边形的性质，棉线最短为。 例4. （2012四川眉山3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 ▲ ． 【答案】1＜AD＜4。 【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。 【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解： 延长AD至E，使DE=AD，连接CE。 ∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。 ∴CE=AB。 在△ACE中，CE－AC＜AE＜CE＋AC，即2＜2AD＜8。 ∴1＜AD＜4。 练习题： 1. （2011湖北荆门3分）如图，长方体的底面边长分别为2和4，高为5.若一只蚂蚁从P点开 始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm 2.（2011四川广安3分）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是【 】 A、㎝ B、5cm C、㎝ D、7cm 3.（2011广西贵港2分）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是 _ ▲ ． 二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：例1. （2012山东莱芜4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 ▲ ． 【答案】。 【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。 【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当BP′⊥AC时，BP取得最小值。 设AP′=x，则由AB＝AC＝5得CP′=5－x， 又∵BC＝6，