奥数-六年级竞赛-几何直线形面积-燕尾定理.教师版word.doc

实用标准文案 PAGE 10 ｜五年级 第四讲 提高班｜ 文档 燕尾定理： S△ABGS△AGCS△BGES△EGCBEEC； S△BGAS△BGCS△AGFS△FGCAFFC； S△AGCS△BCGS△ADGS△DGBADDB； 问：为什么称之为燕尾定理？ 答：我们看看燕子的尾巴然后再看看右图的阴影部分，看看阴影部分是不是很像燕子的尾巴，A是尾巴与身体的连接点，AG是燕子尾巴的中分线，左右两个阴影三角形构成燕子尾巴的两侧翼.同学们也可以自己动手，试试以三角形的另外两个顶点作为尾巴与身体的连接点能不能画出燕子的尾巴. 燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理： 举例：如右图，D是BC上任意一点，请你说明 S1S4S2S3BDDC 三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底， 所以有S1S4 BDDC ；三角形ABE与三角形EBD同高，S1S2 EDEA三角形ACE与三角形CED同高，S4S3，所以S1S4 S2S3；综上可得S1S4S2S3BDDC. 用燕尾定理求面积 用燕尾定理求面积 如图，已知，，三角形的面积是30，求阴影部分面积. 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一)连接，因为，，三角形的面积是30， 所以，． 根据燕尾定理，，, 所以，， 所以阴影部分面积是． (法二)连接，由题目条件可得到， ，所以， ， 而．所以阴影部分的面积为． 右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 ． 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系： ，解得. 方法二：回顾下燕尾定理，有，解得. 如右图，三角形ABC中，BDDC49，CEEA43，求AFFB. 燕子尾巴非常明显. 根据燕尾定理，， ， 所以， 所以. 如图在中，,求的值． 连接BG,设1份，根据燕尾定理,,得(份)，(份),则(份)，因此,同理连接AI、CH得,, 所以 如右图，三角形ABC中，AFFBBDDCCEAE32，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积． 连接BG，4份 根据燕尾定理，， 得(份)，(份)，则(份)，因此, 同理连接AI、CH得,, 所以 三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19 如图，三角形ABC被分成6个三角形，己知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少? 设，，根据燕尾定理,得 ,即 ，，即，解得， 所以三角形ABC的面积是 三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分的面积． 令BE与CD的交点为M，CD与EF的交点为N，连接AM，BN． 在中，根据燕尾定理，,, 所以 由于S，所以 在中，根据燕尾定理， 设(份)，则(份)，(份)，(份)， 所以,，因为,F为BC中点, 所以,, 所以(平方厘米) 如右图，中，是的中点，、、是边上的四等分点，与交于，与交于，已知的面积比四边形的面积大平方厘米，则的面积是多少平方厘米？ 连接、． 根据燕尾定理，，，所以； 再根据燕尾定理，，所以，所以，那么，所以． 根据题意，有，可得(平方厘米) 如右图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC， CFFGGA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少? 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，CM，CN． 根据燕尾定理，，，设(份)，则(份)，所以 同理可得，,,而，所以，． 同理，,所以，,, 已知四边形ABCD，CHFG为正方形，，a与b是两个正方形的边长，求 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解 连接EO、AF， 根据燕尾定理：， 所以 ，作OM⊥AE、ON⊥EF， ∵AEEF ∴ ∴ ∴ 求面积方法的综合运用 求面积方法的综合运用 如图，在平行四边形中，，．求阴影面积与空白面积的比． 方法一：因为，，所以，． 因为，所以， 所以，．