专题16空间角(教师版).doc

实用标准文案 文档 专题16 空间角 Oab O a b 600 【考题回放】 1．如图，直线a、b相交与点O且a、b成600，过点O 与a、 b都成600角的直线有（ C ） A．1 条 B．2条 C．3条 D．4条 2．在一个450的二面角的一个平面内有一条直线与二面角棱成450角，则此直线与 二面角的另一个面所成的角为 （ A ） A．300 B．450 C．600 D．900 3．直三棱住A1B1C1—ABC，∠BCA=，点D1、F1 分 别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1 所成角的余弦值是（ A ） A． B． C． D． 4．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为， 则侧面与底面所成的二面角等于． 5．PA,PB,PC是从P点引出的三条射线,他们之间每两条的夹角都是60°,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为 ． 6．在棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1， E、F分别为BC与A1D1的中点， (1) 求直线A1C与DE所成的角； (2) 求直线AD与平面B1EDF所成的角； (3) 求面B1EDF 与 面ABCD所成的角。 【专家解答】 (1)如图，在平面ABCD内，过C作CP//DE交直 线AD于P，则（或补角）为异面直线A1C与 DE所成的角。在Δ中，易得 ，由余弦定理得。 故异面直线A1C与DE所成的角为。 （2）， ∴AD在面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上。 而B1EDF是菱形，∴DB1为∠EDF的平分线。故直线 AD与面B1EDF所成的角为∠ADB1．在RtΔB1AD中， 则。 故直线AD与平面B1EDF所成的角为。 O（3）连结EF、B1D，交于点O，显然O为B1D的中点，从而O为正方体ABCD—A1B1C1D1的中心，作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心。再作HM⊥DE，垂足为M ，连结OM，则OM⊥DE（三垂线定理），故∠OMH为二面角B1-DE-A的平面角。 O 在RtΔDOE中， 则由面积关系得。 在RtΔOHM中。 故面B1EDF 与 面ABCD所成的角为 ★★★高考要考什么 【考点透视】 异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大. 【热点透析】 1．转化思想： ① ② 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形 2．求角的三个步骤：一猜,二证,三算．猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证 3．二面角的平面角的主要作法：①定义 ②三垂线定义 ③ 垂面法 ★★★高考将考什么 【范例1】在的二面角中， ，已知点A和B到棱的距离分别为2和4，且AB=10。求 （1）直线AB与棱a所成的角；（2）直线AB与平面β所成的角。 解：（1）如图所示，在平面α内，过A作AC⊥α，垂足为C；在平面β内，过B作BD⊥β，垂足为D；又在平面β内，过B作BECD， 连结CE，则∠ABE为AB与α所成的角，CEBD， 从而CE⊥α，∠ACE=1200，∠AEB=900。 在ΔACE中，由余弦定理得 在RtΔAEB中，。故直线AB与棱a所成的角为 （2）过点A作，则垂足在的另一半平面上。 在RtΔAA′C中，。 在RtΔAB中，。 故直线AB与平面β所成的角为 【点晴】本题源于课本，高于课本，不难不繁，体现了通过平移求线线、通过射影求线面角的基本方法。 【文】如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2． E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1． (1) 求二面角C—DE—C1的正切值; (2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值． 解：（I）以A为原点，分别为 x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2), 故 设向量与平面C1DE垂直，则有 （II）设EC1与FD1所成角为β，则 。 【点晴】空间向量在解决含有三维直角的立体几何题中更能体现出它的优点，但必须注意其程序化的过程及计算的公式，本题使用纯几何方法也不难，同学不妨一试。 【范例2】如图，在四棱锥P—ABC右，底面ABCD 为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2， E为PD的中点 （Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC， 并求出N点到AB和AP的距离 解法一：（Ⅰ）建立如图所示的