课件：弹性力学第四章本构关系.ppt

THANK YOU SUCCESS * * 可编辑 Chapter 5.1 独立的弹性常数由81个降为36个 §4-2 广义胡克定律 Chapter 5.1 其中 即c 的下角标1、2、3、4、5、6分别对应于C 的双指标11、22、33、12、23、31。应该指出，改写后的cmn (m, n＝1~6) 并不是张量。 由于存在Voigt对称性，所以对于最一般的各向异性材料，独立的弹性常数共有21个。 §4-2 广义胡克定律 Chapter 5.1 (1) 一般各向异性线弹性 ： 无弹性对称面 21 例： 三斜晶体 §4-2 广义胡克定律 Chapter 5.1 (2) 具有一个弹性对称面的各向异性线弹性体 ： 13 b a e2 c e1 e3 e‘3 例：单斜晶体(正长石和云母等) e1,e2平面为弹性对称面 §4-2 广义胡克定律 Chapter 5.1 (3) 正交各向异性线弹性体 ： 9 例：正交晶体(各种增强纤维复合材料、木材等) 互相正交的e1-e2 ， e2-e3, e1-e3平面为弹性对称面 c e1 e3 e2 e’1 a b §4-2 广义胡克定律 Chapter 5.1 (4) 横观各向同性线弹性体 ： 5 例：六方晶体 a a a c §4-2 广义胡克定律 Chapter 5.1 (5) 各向同性线弹性体 ： 2 金属（随机排列晶体）、短纤维增强复合材料颗粒增强复合材料 §4-2 广义胡克定律 Chapter 5.1 2个 金属 拉压：2个 剪切：1个 各向同性 地壳、 六方晶体 拉压：4个 剪切：2个 5个 横观各向同性 正交晶体 拉压与剪切不耦合 剪切为对角阵 9个 正交各向异性 单斜晶体 13个 有一个弹性对称面 三斜晶体 6×6对称 21个 一般情况 例 独立的弹性常数 小结 §4-2 广义胡克定律 第四章 本构关系 §4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能 §4-3 应变能和应变余能 Chapter 5.2 应变能 如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将全部转化为变形位能而储存在弹性体内。 弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程，卸载后物体恢复到未变形前的初始状态，变形位能将全部释放出来。 Chapter 5.2 §4-3 应变能和应变余能 Chapter 5.2 非线性的应力应变关系 §4-3 应变能和应变余能 Chapter 5.2 正应力 ?11 仅在正应变 ?11 上做功，其值为： 其他应力分量 ?ij 也都只与之对应的应变分量 ?ij 上做功。把这些功叠加起来，并除以微元体积dV，得 §4-3 应变能和应变余能 §4-3 应变能和应变余能 Chapter 5.2 引进应变能密度函数W(?ij)，使 即 则 其中，W(0)和W(?ij)分别为物体变形前和变形后的应变能密度。一般取变形前的初始状态为参考状态，令W(0)＝0。 格林(Green,G.)公式 Chapter 5.2 §4-3 应变能和应变余能 应变能密度等于单位体积的外力功。 应变能密度只与物体的初始状态和最终变形状态有关，而变形历史无关，即是一个状态函数。 应变能是弹性材料本构关系的另一种表达形式，当W(?ij)的具体形式给定后，应力应变关系也惟一确定。 Chapter 5.2 §4-3 应变能和应变余能 ∵ 又 ∴ 广义格林公式 Chapter 5.2 线弹性情况 在无应变自然状态(?ij=0)附近把应变能函数W(?ij)对应变分量展开成幂级数： 其中 §4-3 应变能和应变余能 Chapter 5.2 §4-3 应变能和应变余能 它是应变分量?ij的二次齐次式，有： 由此证明弹性张量 C 对双指标 ij 和 kl 具有对称性。 §4-3 应变能和应变余能 Chapter 5.2 Chapter 5.2 对于各向同性材料，有 对于非线性弹性材料，还应考虑应变能幂级数表达式中的高阶项。 §4-3 应变能和应变余能 Chapter 5.2 应变余能 仿照应变能的定义式，可以定义应变余能Wc 它具有如下类似性质： §4-3 应变能和应变余能 Chapter 5.2 对上式分部积分得： §4-3 应变能和应变余能 Chapter