课件8-5隐函数的求导公式.ppt

第五节 隐函数的求导公式 一、一个方程的情形 二、方程组的情形 小 结 P73题 11 备用题 2. * 一、一个方程的情形 二、方程组的情形 显函数 隐函数 显化 问题： 1.满足什么条件，方程能够确定函数？ 2.对于不能或难以显化的隐函数如何求偏导？ 隐函数存在定理1 在点 的某一邻域内具有 设函数 连续的偏导数， 且 能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 则方程 在点 的某一邻域内恒 ，它满足条件 ，并有 隐函数的求导公式 定理证明略. 推导求导公式： 两边对 x 求导 在 的某邻域内 则 复合函数 例1 验证方程 在点 的某 解 令 则 连续 , 邻域内能唯一确定一个可导,且 时 的隐函数 并求这函数的一阶和二 的值. 阶导数在 注：在点(1,0)的邻域内方程 不能唯一确定一个可导函数. 依定理知方程 的某邻域内能唯一确定一个可导的函数 在点 一阶导数： 例2 设方程 确定一个隐函数 解 令 由隐函数求导公式,得 则 求 方程两边对x求导， 另解 解出 注意到 隐函数存在定理2 的某一邻域内有连续的偏导数， 设函数 在点 邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续 则方程 在点 的某 偏导数的函数 ,它满足条件 并有 且 两边对x求偏导 同样可得 则 推导求偏导公式： 隐函数的求导公式 解 令 则 例3 具有连续偏导数，求偏导数. 例4 解 则 解 例5 两边全微分： 隐函数存在定理3 设 在点 的某一邻域内有对各个变量的 偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式） 连续偏导数,且 在点 不为零， 则方程组 在点 唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的 它们满足条件 并有 的某一邻域内恒能 函数 解1 直接代入公式； 解2 运用公式推导的方法， 将所给方程的两边对x求导并移项,得 例6 将所给方程的两边对求导，用同样方法得 在 的条件下， 解方程组，得 （分以下几种情况） 隐函数的求导法则 思考题 已知 ，其中 为可微函数，求 思考题解答 作 业 p.37 习题8-5 1; 3; 6；7; 8; 10.(1); (3)；11. 1. 复合函数求导的链式法则 “分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, 2. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是因变量, 多元复合函数求偏导小结 解答提示: P31 题7 课后题：P31 题7; 8(2); P73 题11 …… P31 题8(2)