天津专版高考数学母题题源系列专题17立体几何的基本问题文.doc

PAGE PAGE 1 母题十七 立体几何的基本问题 【母题原题1】【2018天津，文17】 如图，在四面体中，是等边三角形，平面⊥平面，点为棱的中点，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 【考点分析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分． ．即直线与平面所成角的正弦值为． 试题解析：（Ⅰ）证明：由平面平面，平面平面，可得平面，故． （Ⅱ）取棱的中点，连接．又因为为棱的中点，故//．（或其补角）为异面直线与所成的角． 在中，，故．平面，故．在所成的角． 在中，．在中， ． 直线与平面所成角的正弦值为． 【名师点睛】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力． 【母题原题2】【2017天津，文17】 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，． （I）求异面直线与所成角的余弦值； （II）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）（2） （Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角． 因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为． 【母题原题3】【2016天津，文17】 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，． （I）求异面直线与所成角的余弦值； （II）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） ；（2） ． （Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为． 【母题原题4】【2015天津，文17】 如图，已知平面ABC， AB=AC=3，，， 点E，F分别是BC， 的中点． （I）求证：EF 平面 ； （II）求证：平面平面． （III）求直线 与平面所成角的大小． 【答案】（I）见试题解析；（II）见试题解析；（III）． 【解析】试题分析：（I）要证明EF 平面， 只需证明 且EF 平面；（II）要证明平面平面，可证明，；（III）取 中点N，连接 ，则 就是直线 与平面所成角，Rt△ 中，由得直线 与平面所成角为． 试题解析：（I）证明：如图，连接，在△中，因为E和F分别是BC， 的中点，所以 ，又因为EF 平面， 所以EF 平面． （II）因为AB=AC，E为BC中点，所以，因为平面ABC，所以平面ABC，从而，又 ，所以平面 ，又因为平面，所以平面平面． 【命题意图】高考对这类题的考查主要有两个方面：考查空间点、线、面的位置关系，高考对立体几何平行与垂直的考查是高考的热点和重点，可以考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质，也可以考查线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质，以及空间几何体的体积． 【命题规律】高考对立体几何平行与垂直的考查是高考的热点和重点，可以考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质，也可以考查线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质，解题思路为对判断定理和性质定理的使用，或以三视图为载体，考查还原后几何体的外接球或内切球问题．? 【答题模板】以2017年高考题为例，解答本类题目，一般考虑如下三步： 第一步： 根据线面垂直的判断定理和性质定理证明 因为与平面内的两条相交直线垂直，所以线与平面垂直，再根据线面垂直的性质定理，线与平面垂直，线与平面内的任何一条直线垂直； 第二步：面面垂直的判断定理 根据条件可证明平面，即证明平面平面； 第三步：根据（Ⅱ）的结论，直接求 ． 【方法总结】 1．平行关系的证明：若要证明线面平行，一是根据线面平行的判断定理：平面外的线平行于平面内的线，则线面平行，二是根据面面平行的性质定理证明两个平面平行，那么平面内的任何一条直线与另一个平面平行；若要证明面面平行，根据判断定理，平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则两平面平行． 2．垂直关系的证明：若要证明线线垂直，根据线面垂直，则线线垂直证明，若要证明线面垂直，根据判断定理证明直线与平面内的两条相交直线垂