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一、问题的提出 二、函数项级数的一致收敛性 三、一致收敛级数的基本性质 四、小结 * 问题: 解 得和函数： 因为该级数每一项都在[0,1]是连续的， 例1 考察函数项级数 和函数的连续性． 结论 问题 定义 x y o 几何解释: 例2 解 余项的绝对值 例3 研究例1中的级数 在区间( 0 , 1]内的一致收敛性. 解 对于任意一个自然数 因此级数在( 0, 1 )内不一致连续． 说明: 从下图可以看出: 但 虽然函数序列 在( 0, 1 )内处处 在( 0, 1 )内各点处收 收敛于 敛于零的“快慢”程度是不一致的． (1,1) 1 小结 一致收敛性与所讨论的区间有关． 定理 （魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法） 一致收敛性简便的判别法： 证 例4 证明级数 证 定理1 证 (1) (2) 同样有 (3) 由(1)、(2)、(3)可见, 定理2 (4) 证 根据极限定义，有 即 定理3 (5) 注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导. 例如，级数 逐项求导后得级数 所以原级数不可以逐项求导． 定理4 幂级数的一致收敛性 定理5 证 于是
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