课件8-4多元复合函数求导法则.ppt

第四节 多元复合函数求导法则 一、链式法则 二、全微分形式不变性 小 结 * 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 形式不变性 定理 且其导数可用下列公式计算 则复合函数 在对应点 t 可导， 函数 在对应点 有连续偏导数， 如果函数 及 都在点t 可导， 一元: 链式法则 证 △t＜0 时, 取“–”号 由于函数 在点 故可微，即 有连续偏导数， 例1 设 而 其中 可导，求 解 1.上定理的结论可推广到 以上公式中的导数 称为全导数. 推广 中间变量多于两个的情况: 在对应点 的两个 偏导数存在,且可用下列公式计算: 如果 及 都在点 具有对x和y的偏导数， 且函数 则复合函数 在对应点 具有连续偏导数， 2.上定理还可推广到 中间变量不是一元函数而是多元函数的情况： 复合结构如图示 链式法则的规律： “连线相乘，分线相加” 解 例2 在对应点 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算 链式法则的规律： “连线相乘，分线相加” 设 都在点 具有偏导数， 在 则复合函数 对应点 具有连续偏导数， 即 其中 两者的区别 区别类似 3.中间变量 既有一元函数,也有多元函数的情况： 解 例3 解 令 记 例4 于是 例5 设 二阶偏导数连续,求下列 表达式在极坐标系下的形式 解 则 已知 于是 复合函数 (当 在二、三象限时, ) (1) 利用已有公式 同理可得 全微分形式不变性的实质： 无论z是自变量x,y的函数或中间变量u,v 的函数，它的全微分形式是一样的. 例5 设 而 求 解 比较