柯西不等式在高中数学中的应用及推广 毕业论文.doc

毕业设计 第 第 PAGE \* MERGEFORMAT 12 页 共 NUMPAGES \* MERGEFORMAT 12 页 第 第 PAGE \* MERGEFORMAT 1 页 共 NUMPAGES \* MERGEFORMAT 12 页 柯西不等式在高中数学中的应用及推广 [摘要]本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的几种证明方法及其在初等数学解题中的应用.同时对其在其他领域的推广进行了简要论述，并且对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论，对柯西不等式在高中数学解题中的应用进行了广泛的取证并得到了证明，从而肯定了其在高中数学学习中的重要性. [关键词]柯西（Cauchy）不等式；应用函数最值；三角函数证明；不等式教学 1 引言 中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的雏形和影子.在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习和应用不等式同时，都会觉得解题中困难重重.而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解.柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用.基于此，本文拟以柯西不等式为出发点，从其证明方法到推广及应用技巧等方面进行总结和归纳，并简谈其在中学数学中的一些应用. 2 柯西不等式的证明 本文所说的柯西不等式是指 SKIPIF 1 0 (1) 当且仅当 SKIPIF 1 0 时，等号成立. 2.1 构造二次函数证明 首先 当 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 时，不等式显然成立. 令 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 中至少有一个不为零时，可知 SKIPIF 1 0 ,构造二次函数 SKIPIF 1 0 展开得 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 的判别式 SKIPIF 1 0 ,移项得 SKIPIF 1 0 ,得证. 2.2 向量法证明 令 SKIPIF 1 0 则对向量 SKIPIF 1 0 有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 当且仅当 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 平行式等号成立. 2.3 数学归纳法证明 a) 当n=1时 有 SKIPIF 1 0 ，不等式成立. b) 当n=2时 SKIPIF 1 0 因为 SKIPIF 1 0 ，故有 SKIPIF 1 0 当且仅当 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 时等号成立. c) 假设n=k时等式不成立，即 SKIPIF 1 0 当且仅当 SKIPIF 1 0 时等号成立. d) 那么当n=k+1时 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 当且仅当 SKIPIF 1 0 时等号成立.于是n=k+1时不等式成立. 由a),b)c),d)可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立. 2.4 利用恒等式证明 先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数 SKIPIF 1 0 有柯西—拉格朗日恒等式 SKIPIF 1 0 由实数性质 SKIPIF 1 0 可得柯西不等式成立. 以上给出了柯西不等式的四种证法.利用四种不同的方法全面论证柯西不等式，能加深我们对柯西不等式的认识和理解，为其在数学解题方面的研究提供了更完备的参考理论. 3 柯西不等式的推广 命题1 若级数 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 收敛，则有不等式. SKIPIF 1 0 证明 由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0