机械零件的应力应变分析.docx

§3－3机械零件的应力应变分析 一、拉（压）杆应力应变分析 （一）应力分析 前面应用截面法，可以求得任意截面上内力的总和，现在进一步分析横截面上的应力情况，首先研究该截面上的内力分布规律，内力是由于杆受外力后产生变形而引起的，我们首先通过实验观察杆受力后的变形现象，并根据现象做出假设和推论；然后进行理论分析，得出截面上的内力分布规律，最后确定应力的大小和方向。 现取一等直杆，拉压变形前在其表面上画垂直于杆轴的直线和（图3-28）。拉伸变形后，发现和仍为直线，且仍垂直于轴线，只是分别平行地移动至和。于是，我们可以作出如下假设：直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。根据这个“平面假设”可知，杆件在它的任意两个横截面之间的伸长变形是均匀的。又因材料是均匀连续的，所以杆件横截面上的内力是均匀分布的，即在横截面上各点处的正应力都相等。若杆的轴力为，横截面积为,,于是得： ???????????????????????? (3－2) 这就是拉杆横截面上正应力的计算公式。当为压力时，它同样可用于压应力计算。规定拉应力为正，压应力为负。 例3－3? 图3-29（a）为一变截面拉压杆件，其受力情况如图示，试确定其危险截面。 解? 运用截面法求各段内力，作轴力图[图3-29（b）]： 段：????????? 段：段：???????? 段：根据内力计算应力，则得： 段：????????? 段：段：最大应力所在的截面称为危险截面。由计算可知，段和段为危险截面。 （二）、拉（压）杆的变形 杆件受轴向拉力时，纵向尺寸要伸长，而横向尺寸将缩小；当受轴向压力时，则纵向尺寸要缩短，而横向尺寸将增大。 设拉杆原长为，横截面面积为(图3-30)。在轴向拉力P作用下，长度由变为，杆件在轴线方向的伸长为, 。 实验表明，工程上使用的大多数材料都有一个弹性阶段，在此阶段范围内，轴向拉压杆件的伸长或缩短量，与轴力和杆长成正比，与横截面积成反比。即，引入比例常数则得到： ??????????????????? （3－3） 这就是计算拉伸（或压缩）变形的公式，称为胡克定律。比例常数称为材料的弹性模量，它表征材料抵抗弹性变形的性质，其数值随材料的不同而异。几种常用材料的值已列入表3－1中。从公式（3－3）可以看出，乘积越大，杆件的拉伸（或压缩）变形越小，所以称为杆件的抗拉（压）刚度。 上式改写为： 其中，而表示杆件单位长度的伸长或缩短，称为线应变(简称应变)，即。是一个无量纲的量，规定伸长为正，缩短为负。 则（3－3）式可改写为：????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? （3-4） 式（3-17）表示，在弹性范围内，正应力与线应变成正比。这一关系通常称为单向胡克定律。 杆件在拉伸（或压缩）时，横向也有变形。设拉杆原来的横向尺寸为，变形后为（图3-30），则横向应变为： 实验指出，当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值是一个常数。即 称为横向变形系数或泊松比，是一个无量纲的量。和弹性模量E一样，泊松比也是材料固有的弹性常数。 因为当杆件轴向伸长时，横向缩小；而轴向缩短时，横向增大，所以和符号是相反的。 表3-1 几种常用材料的和的约值 材料名称 E(GPa)值 μ值 碳?????? 钢 合?? 金? 钢 灰?? 铸? 铁 铜及其合金 铝?? 合? 金 196~216186~20678.5~15772.6~12870 0.24~0.280.25~0.300.23~0.270.31~0.420.33 例3-4?? 图3-31中的螺栓内径=10.1mm，拧紧后在计算长度=800mm上产生的总伸长=0.03mm。钢的弹性模量=200GPa。试计算螺栓内的应力和螺栓的预紧力。 解? 拧紧后螺栓的应变为： 根据胡克定律，可得螺栓内的拉应力为： (MPa)螺栓的预紧力为： ?=6(kN)以上问题求解时，也可以先由胡克定律的另一表达式（13－63）即求出预紧力，然后再由预紧力计算应力σ。 例3-5? 图3-32（a）为一等截面钢杆，横截面面积=500mm2，弹性模量=200GPa。所受轴向外力如图示，当应力未超过200MPa时，其变形将在弹性范围内。试求钢杆的总伸长。 解? 应用截面法求得各段横截面上的轴力如下： 段? =60(kN)段? =60-80= -20(kN) 段? =30(kN)由此可得轴力图[图3-32（b）]由式（3－2）可得各段横截面上的正应力为： 段? (MPa) 段?