纳维-斯托克斯方程（N-S方程）详细推导.ppt

本构方程及N-S方程 李连侠 水力学与山区河流开发保护国家重点实验室 2009年4月 内容提要 流体运动分析及理想流体基本方程 真实流体受力分析 利用张量理论推导本构方程和粘性流体力学基本方程 流体质点运动的分析 分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。 流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式有平移运动、旋转运动、线变形和角变形运动等。实际运动也可能遇到只有其中的某几种形式所组成。 当流体微团无限小而变成质点时，其运动也是由平动、线变形、角变形及旋转四种基本形式所组成。 平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动 右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后，该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。 流体微团的运动形式 与微团内各点速度的变化有关。 设方形流体微团中心 M 的流速 分量为 ux 和 uy ，则微团各侧边 的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速 分量分别为： 平移运动速度 微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移动一距离 uydt 。因而，把中心点 M 的速度 ux和 uy ，定义为流体微团的平移运动速度。 线变形运动 微团左、右两侧的 A 点和 C 点沿 x 方向的速度差为 ，当这速度差值为正时，微团沿 x 方向发生伸长变形；当它为负时，微团沿 x 方向发生缩短变形。 线变形速度 单位时间，单位长度的线变形称为线变形速度。流体微团沿 x 方向的线变形速度： 旋转角速度 把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平面上的旋转角速度。 亥姆霍兹速度分解定理 不可压缩流体连续性微分方程 理想流体的运动微分方程 理想流体的运动微分方程 粘性流体的运动微分方程 以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写为如下的矢量形式： 这里 ： 是流体微团的加速度，微分符号： 称为物质导数或随体导数，它表示流体微团的某性质 时间的变化率。 广义牛顿粘性应力公式 在流体作直线层流运动的条件下，我们可以直接由试验得到切应力与变形速率之间的关系式。 在流体作非直线层流运动的条件下，并不能直接由试验给出应力与变形速率之间的一般关系式。为了得到这样的关系式，必须对粘性流体中的应力性质作仔细的分析。 一、应力张量分析 运动流体中任一点的应力状态，可以由九个分量来表示，这九个应力分量组成一个二阶对称张量 任意平面上的应力可表示为 为便于书写，我们规定：分别用e1、e2、e3代替i、j、k，带有下标的量的下标分别用i=1，2，3代替x,y,z。并且遵循爱因斯坦符号算法规则：一项中下标符号重复的量，表示此项是变换下标后的各项相加。 在静止流体中或理想流体中，过一点的任意平面的法向应力的方向，都与该平面的单位法线向量n的方向相反，且法向应力的数值p与n无关，即 式中 a为球形微团的半径。 于是 由此可见，流场中任意一点的平均压力pm，等于过此点的三个坐标面上的法向应力p11,p22,p33的算术平均值的负值。 平均压力偏量: 平均压力与平衡态压力之差pm-p。 现在让我们把从应力张量pm中分离出来。为此，令 上式可写成分量形式 二、变形速率张量 我们曾经得到描写流体变形速率的9个分量，由这9个分量可以组成一个描写变形速率的二阶对称张量E 过一点的任意平面上的变形速率可写成 三、应力张量与变形速率张量的关系 斯托克斯根据牛顿粘性公式提出了关于应力与变形速率之间的一般关系的三条假定： (1)应力与变形速率成线性关系； (2)应力与变形速率的关系在流体中各向同性； (3)在静止流体中,切应力为零，正应力的数值为静压力p。 根据这三条假定,不难给出应力与变形速率的一般关系式。我们将分两步讨论： 第一步，建立偏应力张量D与变形速率E之间的关系； 第二步，建立平均压力偏量与变形速率E之间的关系。 (一)偏应力张量D与变形速率张量E之间的关系 根据斯托克斯的第(1)、(2)条假定，偏应力张量与变形速率张量之间的关系可写成 于是 将此三式相加可得 （二）平均压力偏量与变形速率之间得关系 我们曾指出，严格说来，在粘性流体动力学中并不存在平衡态压力，而是人为定义的平均压力。平均压力与平衡态压力是又差别的，这个差别反映了由于速度场的不均匀所造成的流体质点得状态对于平衡态得偏离。 利用斯托克斯假定可以确定平均应力偏量与变形速率之间的关系。由于斯托克斯的第（1），（2）条假定，可以给出下列线性关系 利用斯托克斯的第三条假定，可以确