理论力学第二章 平面汇交力系与平面力偶系.doc

理论力学第二章 平面汇交力系与平面力偶系 平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复杂力系的基础。本章将分别用几何法与解析法研究平面汇交力系的合成与平衡问题，同时介绍平面力偶的基本特性及平面力偶系合成与平衡问题。  　§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系是指各力的作用线都在同一平面内且汇交于一　　点的力系。 1．平面汇交力系合成的几何法、力多边形规则 设一刚体受到平面汇交力系 ， ， ， 的作用，各力作用线汇交于点A，根据刚体内部力的可传性，可将各力沿其作用线移至汇交点A，如图2-la所示。 为合成此力系，可根据力的平行四边形规则，逐步两两合成各力，最后求得一个通过汇交点A的合力;还可以用更简便的方法求此合力的大小与方向。任取一点a，先作力三角形求出与的合力大小与方向，再作力三角形合成与得，最后合成与得，如图2-lb所示。多边形abcde称为此平面汇交力系的力多边形，矢量称此力多边形的封闭边。封闭边矢量即表示此平面汇交力系合力的大小与方向(即合力矢)，而合力的作用线仍应通过原汇交点A，如图2-la所示的。 必须注意，此力多边形的矢序规则为:各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的同一方向首尾相接。由此组成的力多边形abcde有一缺口，故称为不封闭的力多边形，而合力矢则应沿相反方向连接此缺口，构成力多边形的封闭边。多边形规则是一般矢量相加(几何和)的几何解释。根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边形，但其合力矢仍然不变，如图2-lc所示。 总之，平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。设平面汇交力系包含n个力，以表示它们的合力矢，则有 =++…+= 　　　(2-1) 合力对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。如果一力与某一力系等效，则此力称为该力系的合力。 如力系中各力的作用线都沿同一直线，则此力系称为共线力系，它是平面汇交力系的特殊情况，它的力多边形在同一直线上。若沿直线的某一指向为正，相反为负，则力系合力的大小与方向决定于各分力的代数和，即 　　= 　　　　　　　（2-2） 2·平面汇交力系平衡的几何条件 由于平面汇交力系可用其合力来代替，显然，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是:该力系的合力等于零。如用矢量等式表示，即 =０ 　　 (2-3) 在平衡情形下，力多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。于是，可得如下结论:平面汇交力系平衡的必要和充分条件是:该力系的力多边形自行封闭，这就是平面汇交力系平衡的几何条件。 求解平面汇交力系的平衡问题时可用图解法，即按比例先画出封闭的力多边形，然后，用尺和量角器在图上量得所要求的本知量;也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的未知量，这种解题方法称为几何法。 例2-1 如图2-2a所示的压路碾子，自重=20kN，半径R=0.6m，障碍物高h=0.08m。碾子中心O处作用一水平拉力。试求:(1)当水平拉力=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力;(2)欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大;(3)力沿什么方向拉动碾子最省力，此时力为多大。 解: (1)选碾子为研究对象，其受力图如图2-2b所示，各力组成平面汇交力系。根据平衡的几何条件，力、、与应组成封闭的力多边形。按比例先画已知力矢与如图2-2c，再从a、c两点分别作平行于、的平行线，相交于点d。将各力矢首尾相接，组成封闭的力多边形，则图2-2c中的矢量和即为A、B两点约束反力、的大小与方向。 从图2-2c中按比例量得 =l1.4kN，=lOkN 由图2-2c的几何关系，也可以计算、的数值。由图2-2a，按已知条件可求得 ? 　　　　　　　cosα = = 0.886 故 　　　　　　　　α ≈ 30° ? ? 再由图2-2c中各矢量的几何关系，可得 sinα=F 　　　　　　+ cosα= 解得 = = 10kN = - cosα = l1.34kN 根据作用与反作用关系，碾子对地面及障碍物的压力分别等于11.34kN和10kN。 (2)碾子能越过障碍物的力学条件是=O，因此，碾子刚刚离开地面时，其封闭的力三角形如图2-2d所示。由几何关系，此时水平拉力 =tanα=11.55kN 此时B处的约束反力 　　　　　　　== 23.09kN (3)从图2-2d中可以清楚地看到，当拉力与垂直时，拉动碾子的力为最小，即 =sinα=l0kN