3-22齐次变换矩阵及其运算.ppt

机器人学基础 齐次变换矩阵及其运算 1.平移的齐次变换 空间某一点在直角坐标系中的平移,由 A(x, y, z)平移至A′(x′, y′, z′), 即 ① 算子左乘: 表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。 ② 算子右乘: 表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。 ③ 该公式亦适用于坐标系的平移变换、 物体的平移变换, 如机器人手部的平移变换。 例 动坐标系{A}相对于固定坐标系的X0、Y0、Z0轴作 (-1,2,2)平移后到{A’}；动坐标系{A}相对于自身坐标系(即动系)的X、Y、Z轴分别作(-1,2,2)平移后到{A’’}。已知A,写出坐标系{A’}、 {A’’} 2．旋转的齐次变换 点在空间直角坐标系中的旋转如图所示。A(x, y, z)绕Z轴旋转θ角后至A’(x’, y’, z’),则A与A’之间的关系为 ： 3．复合齐次变换 已知坐标系中点U的位置矢量 ，将此点绕Z轴旋转90°，再绕Y轴旋转90°，如图所示，求旋转变换后所得的点W。 平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例中点U若还要作4i-3j+7k的平移，则只要左乘上平移变换算子即可得到最后的列阵表达式。 5.变换矩阵求逆 6 变换方程 反之，若给出某个旋转齐次矩阵 等效转轴和等效转角 ????? 给定旋转矩阵 ，求对应的等效旋转轴 和等效转角 设 ， 令 得到： 方程两边矩阵的非对角元素成对相减，得到： 两边平方后相加，所以整理后得到： 所以， 上海电机学院 机械学院 LOGO ——齐次变换矩阵及其运算 由于各种原因，变换矩阵应写成方型形式，3*3或4*4均可. 为保证所表示的矩阵为方阵，如果在同一矩阵中既表示姿态又表示位置，那么可在矩阵中加入比例因子使之成为4*4矩阵。 变换可定义为空间的一个运动。 已知一直角坐标系中的某点坐标，那么该点在另一直角坐标系中的 坐标可通过齐次坐标变换来求得。 变换可分为如下形式： 纯平移 纯旋转 平移与旋转的结合 a′=Trans(Δx, Δy, Δz)a 平移算子 记为: a′=Rot(z, θ)a 旋转算子 同理，绕x轴、Y轴旋转算子内容为： 绕Z轴旋转算子内容为： 如图所示单操作手臂，并且手腕也具有一个旋转自由度。已知手部的起始位姿矩阵为G1. 若手臂绕Z0轴旋转90°，则手臂到达G2；若手臂不动，仅手部绕手腕Z1轴转90°，则手部到达G3.写出手部坐标系G2、G3表达式。 复合变换是由固定参考坐标系或当前运动坐标系的一系列沿轴平移和绕轴旋转变换所组成的。任何变换都可以分解为按一定顺序的一组平移和旋转变换。 相对于固定坐标系 相对于动坐标系 算子左乘 算子右乘 齐次变换矩阵 的数学意义： （1）同一点在不同坐标系{B}和{A}中的变换； （2）描述坐标系{B}相对于坐标系{A}的位置和方位； （3）点的运动算子。 4．变换矩阵相乘 对于给定的坐标系｛A｝、｛B｝、｛C｝，已知｛B｝相对｛A｝的描述为 ，｛C｝相对｛B｝的描述为 ，则 。 从而定义复合变换 表示｛C｝相对于｛A｝的描述，是两变换矩阵的乘积。 注意：变换矩阵相乘不满足“交换律”，变换矩阵的左乘和右乘的运动解释不同。 复合变换可解释为： (1) 和 分别代表同一坐标系{C}相对于{A}和{B}的描述。则 表示坐标系{C}从 映射为 的变换。 (2)坐标系{C}相对于{A}的描述 是这样得到的：最初{C}与{A}重合，首先相对于{A}作运动 ，到达{B},然后相对{B}作运动 ，到达最终位置{C}。 如果知道坐标系｛B｝相对于｛A｝的描述。希望得到｛A｝相对于｛B｝的描述，这是个齐次变换求逆问题。 对4*4矩阵直接求逆； 利用齐次变换矩阵的特点，简化矩阵求逆运算。 求逆问题可以描述为：已知 ，求解 。 利用旋转矩阵正交性 利用复合变换公式(2.13) ,求出 在{B}中描述。 下面我们写出变换矩阵的一般表达形式 nx ox ax px