数学期望及性质,函数的数学期望.ppt

例7：设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示，求Z=X2+Y的期望. E(Z)= g(1,1)?0.125+g(1,2)?0.25 +g(2,1)?0.5+g(2,2)?0.125 解： = 4.25. 例8：设随机变量X和Y相互独立，概率密度分别为 求 E(XY)。 解： 因 G(X,Y)=XY, X 和Y 相互独立。 所以， 4.1.4 期望的性质 (1). 设C是常数，则E(C)=C; (4). 设 X, Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); (2). 若k是常数，则E(kX)=kE(X); (3). E(X1+X2) = E(X1)+E(X2); 注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y独立 推广： 推广： (诸Xi 独立时)。 期望性质的应用 例9: 求二项分布的数学期望。 分析：若 X ~ B(n, p)，则 X 表示n重贝努里试验中“成功”的次数。 设 则 X = X1+X2+…+Xn， i=1,2,…n. 由此可见：服从参数为n, p的二项分布的随机变量X的数学期望是 np。 = np . 因为 P{Xi =1}= p, P{Xi =0}= 1-p， 所以 E(X)= E (Xi ) = p， 例10：将 n个球放入M个盒子中, 设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X 的期望。 解：引入随机变量 则 X=X1+X2+…+XM .于是, E(X)=E(X1)+E(X2)+ …+E(XM). 每个Xi都服从两点分布，i =1,2,…,M。 因每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M, 所以，对第i 个盒子，一个球不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)。 故N个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n ，即 小结 随机变量数学期望的概念、性质及计算； 几种常用随机变量的数学期望； 随机变量函数数学期望的方法。 概率论与数理统计 第十一讲 主讲教师：张冬梅副教授 浙江工业大学理学院 如果知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关于 X 的全部概率特征也就知道了。 然而，在实际问题中，概率分布是较难确定的。且有时在实际应用中，我们并不需要知道随机变量的所有性质，只要知道其一些数字特征就够了。 最常用的数字特征：期望和方差。 背 景 4.1.1 离散型随机变量的数学期望 概念引入： 车工小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量，如何定义 X 的平均值？ §4.1 数学期望 第四章 数字特征 若统计了100天小张生产产品的情况，发现： 可以得到这100天中每天的平均废品数为 32天没有出废品；30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。 这是以频率为 权的加权平均 由频率与概率的关系， 用概率替代频率，得平均值为： 这是以概率为 权的加权平均 这样，得到一个确定的数 ——随机变量X的期望(均值) 。 定义1: 设X是离散型随机变量, 概率分布为 P{X=xk}=pk , k=1,2, …。 也就是说：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛（？）的级数和。 如果 有限, 则称 为X 的数学期望(或均值)。 在 X 取可列无穷个值时，级数绝对收敛 可以保证“级数之值不因级数各项次序的改 排而发生变化”，这样E(X)与X取值的排列次序无关。 例1： 有4只盒子，编号为1, 2, 3, 4。现有3个球，将球逐个独立地随机放入4只盒子中去。用X 表示其中至少有一个球的盒子的最小号码，E(X)。 解：首先求X 的概率分布。X 所有可能取的值是1, 2, 3, 4。{X=i} 表示i号盒中至少有一个球，i=1, 2, 3, 4。 为求 P{X=1}，考虑 {X=1} 的对立事件：{1号盒中没有球}，其概率为 (3/4)3，因此 {X=2} 表示 {1号盒中没有球，而2号盒中至少有一个球}，类似地得到： 于是， 1.两点分布：X ～ B(1, p), 0 p 1，则 E(X)= 1?p + 0?(1-p) = p . 常用离散型随机变量的数学期望 2.二项分布：X ～ B(n, p)，其中 0 p 1，则 例2：某种产品次品率为 0.1。检验员每天检验 4 次,每次