2011-2015云南压轴题精选题之2、二次函数与存在相似三角形（含答案）.doc

二次函数与存在相似三角形 云南省近3年真题展示： 1、（2013·曲靖·T23[3]）见2015《火线100天》（云南专版）P161-162 T2(3) 2、（2013·普洱·T23[2]）见2015《火线100天》（云南专版）P161 T1(2) 3、（2013·红河·T23[3]）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E． （1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式； （2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标； （3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 解：（1）在y=﹣x2+4中，当y=0时，即﹣x2+4=0，解得x=±2． 当x=0时，即y=0+4，解得y=4． ∴点A、B、C的坐标依次是A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，4）． 设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则 ，解得． 所以直线BC的解析式为y=﹣2x+4． （2）∵点E在直线BC上， ∴设点E的坐标为（x，﹣2x+4）， 则△ODE的面积S可表示为：． ∴当x=1时，△ODE的面积有最大值1． 此时，﹣2x+4=﹣2×1+4=2， ∴点E的坐标为（1，2）． （3）存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下： 设点P的坐标为（x，﹣x2+4），0＜x＜2． 因为△OAC与△OPD都是直角三角形，分两种情况： ①当△PDO∽△COA时，，， 解得，（不符合题意，舍去）． 当时，． 此时，点P的坐标为． ②当△PDO∽△AOC时，，， 解得，（不符合题意，舍去）． 当时，=． 此时，点P的坐标为． 综上可得，满足条件的点P有两个：，． 备选变式题： 1. (2014?东营·T25)如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）． （1）求直线BD和抛物线的解析式； （2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标． 解：（1）∵y=2x+2，∴当x=0时，y=2，∴B（0，2）． 当y=0时，x=﹣1，∴A（﹣1，0）． ∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（0，2），D（3，﹣4）， ∴解得，∴y=﹣x2+x+2； 设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得 ，解得，∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+2； （2）存在． 如图1，设M（a，﹣a2+a+2）． ∵MN垂直于x轴，∴MN=﹣a2+a+2，ON=a． ∵y=﹣2x+2，∴y=0时，x=1，∴C（1，0），∴OC=1． ∵B（0，2），∴OB=2． 当△BOC∽△MON时，∴，∴，解得a1=1，a2=﹣2. ∴M（1，2）或（﹣2，﹣4）； 如图2，当△BOC∽△ONM时，，∴，∴a=或， ∴M（，）或（，）． 又∵M在第一象限， ∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（，）； （3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）． 如图3，∵四边形BOHP是平行四边形，∴BO=PH=2． ∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b．∴2=﹣b2+3b∴b1=1，b2=2． 当b=1时，P（1，2）， 当b=2时，P（2，0） ∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）． 2.(2014·安顺·T26)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，BC在x轴上，点A在y轴的正半轴上，点A，D的坐标分别为A（0，2），D（2，2），AB=2，连接AC． （1）求出直线AC的函数解析式； （2）求过点A，C，D的抛物线的函数解析式； （3）在抛物线上有一点P（m，n）（n＜0），过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，连接PC，使以点C，P，M为顶点的三角形与Rt△AOC相似，求出点P的坐标． 解：（1）由A（0，2）知OA=2， 在Rt△ABO中，∵∠AOB=90°，AB=2， ∴OB===2，∴B（﹣2，0）． 根据等腰梯形的对称性可得C点坐标为（4，0）． 设直线AC的函数解析式为y=kx+n，则 ，解得，∴直线AC的函数解析式为y=﹣x+2； （2）设过点A，C，D的抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，则 ，解得，∴y=﹣x2+x+2； （3）∵点P（m，n）（n＜0）在抛物线y=﹣x2+x+2上， ∴