《数学分析论文-级数、反常积分的收敛判别法之间的联系与区别》.doc

云南大学 数学分析习作论文 题目：级数、反常积分的收敛判别法之间的联系与区别 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 姓名：李加科 学号：20111910122 任课教师：黄辉 老师 时间：2012 年 12月 1日 摘要 首先介绍正项级数、交错级数、函数项级数、无穷限反常积分、无界函数的反常积分的收敛判别法，然后再介绍它们之间的联系与区别，以及各收敛判别法的收敛条件。 关键词 级数、正项级数、交错级数、函数项级数、反常积分、无穷限、无界函数、区别、联系、收敛、判别法。 一、比较判别法 正项级数的比较判别法 若两个正项级数和之间成立着关系：存在常数c0，使，那么 （1）当级数收敛时，级数亦收敛。 （2）当级数发散时，级数亦发散。 比较判别法（极限形式） 给定两个正项级数和，， 若，那么这两个级数同时收敛或同时发散； 若，收敛，则收敛；发散，则发散； 若，收敛，则收敛；发散，则发散。 无穷限反常积分的比较判别法 如果对充分大的x，有而积分收敛，那么积分绝对收敛；又如果对充分大的x有，而积分发散，那么积分发散。 比较判别法（极限形式）  若，那么这两个级数同时收敛或同时发散； 若，收敛，则收敛； 若，发散， 则发散。 柯西判别法1、正项级数的柯西判别法 极限形式 （带n次时常用此方法） 对于正项级数，设，那么 当时此级数必收敛，当时此级数发散，而当时此级数的收敛性需进一步判定。2、无穷限反常积分的柯西判别法 极限形式  如果，当时，积分收敛，当时，积分发散； 如果，，则积分发散； 如果，，则积分收敛。 无界函数的反常积分的柯西判别法 极限形式 设是的奇点，  如果，，那么为绝对收敛； 如果，，在区间内的符号不改变，那么发散。 阿贝尔判别法1、无穷限反常积分的阿贝尔判别法 如果在上可积，单调有界，那么积分收敛。 无界函数的反常积分的阿贝尔判别法 设在有奇点，收敛，单调有界，那么积分收敛。 函数项级数一致收敛 若在X上一致收敛，又对X中每一固定的x，数列单调。而对任意的n和X中的每个x，有，那么在X上一致收敛 狄利克雷判别法1、无穷限反常积分的狄利克雷判别法 如果对任何，有界：，单调且当时趋向于零，那么积分收敛。 无界函数的反常积分的狄利克雷判别法 设在有奇点，是的有界函数，单调且当时趋于零，那么积分收敛。 函数项级数一致收敛 设的部分和在X上一致有界，又对X内每一x，数列单调，并且函数列在X上一致收敛于零，则在X上一致收敛。 柯西收敛原理1、级数 级数收敛的充要条件是：对任意的正数，总存在N，使得当nN时，对于任意的正整数，都成立着。 这个充要条件也可以叙述为：对任意的正数，总存在N，使得当n,mN时，都成立着。2、函数项级数一致收敛 函数列在X上一致收敛的充要条件是：对任意的正数，可得正整数，使时，不等式对任意的正整数p和X上任意的x都成立。 在级数的情况下，定理中的，即。3、无穷限反常积分 收敛的充要条件是：对任意的正数，存在Aa，当时，总有。4、无界函数的反常积分 若在有奇点，收敛的充要条件是：对任意的正数，存在，当时，总有。 正项级数 达朗贝尔判别法（当级数的一般项含有阶乘时，常用此法） 极限形式 对于正项级数， 当时，级数收敛；当时，级数发散；而当时，级数的敛散性需进一步判定。 交错级数 莱布尼茨定理： 如果一个交错级数的项满足 一下两个条件： （1）单调减少； （2）， 则级数收敛。 函数项级数一致收敛 定义1 设有函数列（或函数列级数的部分和序列），若对任给的，存在只依赖于的正整数，使时，不等式对X上一切x都成立，则称在X上一致收敛于。 定义2 设，如果，就称在X上一致收敛于。 魏尔斯特拉斯判别法（M—判别法） 若对充分大的n，恒有实数，使得对X上任意的n都成立，并且数项级数收敛，则 在X上一致收敛。九、含参变量的反常积分 一致收敛的判别法 魏尔斯特拉斯判别法（M—判别法） 设有函数，使，，，如果积分收敛，那么关于y在 上一致收敛。 十、几类特殊情形的收敛性 P级数 时，级数收敛； 时，级数发散。 无穷限反常积分 时，级数收敛； 时，级数发散。 无界函数的反常积分 是奇点， 时，级数发散； 时，级数收敛。  参考文献1. 复旦大学数学系陈传璋编. 数学分析(第二版)