《随机信号分析》马尔可夫过程和泊松过程.ppt

第七章 马尔可夫过程与泊松过程 马尔可夫链 马尔可夫过程 泊松过程 7.1 马尔可夫链 马尔可夫链的统计特性 状态概率与状态转移矩阵之间的关系 状态转移图—描述马尔可夫链的一种工具 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 齐次马尔可夫链 平稳链 平稳链状态概率的计算 计算举例----反射壁 7.2 马尔可夫过程 齐次过程 高斯马尔可夫过程 维纳-列维过程 独立增量过程：不同时间间隔（互不重叠）  的增量过程彼此独立 7.3 泊松过程 7.4 隐马尔可夫过程(Hidden Markov) 例：下面的马尔可夫链是遍历的。 不遍历的例子 条件分布函数的特点 定义: t0已知的条件下,未来的状态只与t0有关,与t0时刻以前无关。 切普曼—柯尔莫哥洛夫方程 与n无关 条件概率密度f(xn|xn-1)与n无关，表明当原点移动时条件概率密度f(xn|xn-1)不变，但一维概率密度f(xn)可能与n有关。所以，一般说来齐次过程不一定是平稳过程。 高斯马尔可夫序列 X(n)=AX(n-1)+W(n) 这是一个一阶AR模型 W(t)的均值为mW(t) 可见X(t)是马尔可夫过程，当W(t)是正态的，X(t)的起始状态也是正态随机变量，则X(t)是高斯-马尔可夫过程。 设正态随机过程的起始值和均值均为零，即 X(0)=E[X(t)]=0 自相关函数为 则称该过程为维纳--列维过程。 例: 一积分器的输入为N(t)，输出为X(t)，则 若N(t)为平稳正态随机过程，均值为零，功率谱密度为N0/2，则X(t)为维纳--列维过程。 相互独立 维纳--列维过程是一个独立增量过程 相互独立 有许多物理现象要求在一定的时间间隔(t0,t)内统计事件出现的个数，如到某商店或售票处的顾客数，通过某交叉路口的车辆数，电话交换台的呼唤次数等，通常都可用泊松过程来描述。在这些现象中，个数变化的时刻是随机的。 这些过程可以用泊松过程来描述。 定义：设随机过程X(t),t?[t0,?)(t0?0)，其状态只取非负整数值，且满足下列三个条件： (1)P[X(t0)=0]=1 (2)X(t)为独立增量过程 (3)对任意的t1和t2(t1t2)，增量X(t2)-X(t1)服从均值为?(t1-t2)的泊松分布，即 式中 则X(t)称为泊松过程。 * 主讲教师:罗鹏飞教授 马尔可夫过程与泊松过程 马尔可夫过程是一类重要的随机过程，广泛应用在近代物理、生物（生灭过程）、公用事业、信号处理、自动控制等方面 马尔可夫过程的基本特征是无后效应性，即未来状态只与现在有关，与过去无关。 定义 状态和时间参量都是离散的随机过程，在tr时刻状态已知的条件下，其后tr+1时刻所处的状态只与tr时刻的状态有关，而与以前tr-1、tr-2……时刻的状态无关，则该过程称为马尔可夫链。 一维随机游动问题。设有一质点在x轴上作随机游动。在t=0时质点属于x轴的原点，在t=1,2,3..时质点可以在轴上正向或反向移动一个单位距离。 例：随机游动问题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? p 1-p 0 质点正向移动一个单位 质点反向移动一个单位 若给定时间n-1，质点偏离原点的距离为k，可表示为Xn-1=k，则质点在n时刻偏离x轴原点的距离只与n-1时刻质点所处的状态有关。时刻n质点所处的状态可以表示 状态转移概率 状态转移矩阵 每一行之和为1 状态概率(概率分布列) j i a1 a2 a3 a4 a5 1 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1 反射壁 状态转移图和状态转移矩阵一一对应 ? ? ? ? ? ? 1/2 1/2 P(s,n)=P(s,r)P(r,n) 几何解释 ts tr tn xs=ai xn=aj an ak al pik(s,r) pkj(r,n) 如果马尔可夫链的转移概率Pij(s,n)只取决于n-s，而与n和s本身的值无关，则称为齐次马尔可夫链，简称齐次链。 P(s,n)=P(n-s) 对于齐次链： P(2)= P(1) P(1)= P 2(1) P(n)= P n(1) P(s,n)= P(s,r) P(r,n) 由切普曼-柯尔莫哥洛夫定理 如果齐次链的状态概率都相同，即p(n)=p(1)， 则称为平稳链 只要p(2)=p(1),则必定p(n)=p(1) 因为 p(n)=PT(s,n)p(s)，所以p(2)=PT(1,2)p(1) 或者 p(2)=PT(1)p(1) p(3)=PT(2,