椭圆离心率求法（经典全面）.doc

离心率的五种求法 第 PAGE 10 页 共 NUMPAGES 10 页 离心率的五种求法 椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率． 一、直接求出、，求解 已知圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解决。 例1：已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，，，故选D 变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 解：由、知 ，∴，又∵椭圆过原点，∴，，∴，，所以离心率.故选C. 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D 解：由题设，，则，，因此选C 变式练习3：点P（-3，1）在椭圆（）的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A B C D 解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得，，则，故选A 二、构造、的齐次式，解出 根据题设条件，借助、、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。 例2：已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解：如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式， 即，得，解得 （舍去），故选D 变式练习1：设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得， 又, ∴,两边平方，得，整理得， 得或，又 ，∴，∴，∴，故选A 变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 解：如图所示，不妨设，，，则 ，又， 在中， 由余弦定理，得, 即，∴， ∵，∴，∴，∴，∴，故选B 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 例3：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。 解： 四、根据圆锥曲线的统一定义求解 例4：设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 . 解：如图所示，是过且垂直于轴的弦，∵于，∴为到准线的距离，根据椭圆的第二定义， 变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 解： 五、构建关于的不等式，求的取值范围 例5：设，则二次曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 另：由，，得，, ∴,∴ ∵，∴,∴，∴，故选D 例6：如图，已知梯形中，，点分有向线段所成的比为，双曲线过、、三点，且以、为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围。 解：以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则轴.因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性知、关于轴对称．依题意，记，，，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高． 由定比分点坐标公式得，，设双曲线的方程为，则离心率，由点、在双曲线上，所以，将点的坐标代入双曲线方程得① 将点的坐标代入双曲线方程得② 再将①、②得，∴③ ④ 将③式代入④式，整理得，∴，由题设得： ，解得，所以双曲线的离心率的取值范围为 配套练习 1. 设双曲线（）的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 4．在给定椭圆中，