刍议数学理解动态生长模型在数学理解性解题活动中的作用.doc

当议“数学理解动态生长模型”在数学 理解性解题活动中的作用 刘亚平 江苏省睢宁高级中学南校 基金：2016年江苏省教育科学“十三五”规划立项课题一一 “数学理解动态生 长模型”指导下高屮数学理解性学习实践研究(立项编号为D/2016/02/15)的 阶段性成果 数学理解动态生长模型由8个不同的理解阶段组成，即初步了解、产生表象、形 成表象、关注性质、形式化、观察评述、构造化与发明创造.ill该模型使学生理 解过程显性化、直观化，为分析学生的数学理解水平提供了一个理论框架，教师 可以选择某些有针对性的问题让学生解决，通过学生解题的状况，借助数学理 解动态生长模型来判断学生理解处于什么阶段，发现学生在相应阶段上理解存 在的困难，并采取相应理解阶段的补救措施，提高学生对知识的理解水平.下面, 笔者将结合一个解题教学的三个教学片断，探讨数学理解动态生长模型对数学 理解性解题活动的指导意义. (1)求椭圆C的方程; 一、“数学理解动态生长模型”对数学理解性解题活动的指异意义 数学解题的回归性 数学教育家Pirie和Kieren认为，人无论在哪一级理解水平上，面对一个不能 马上理解或解决的问题，为了加深和扩充自己的理解，有必要返冋内层水平.这 种重新返回到A层水平所进行的解题活动与原先|Aj层水平的理解活动是不同的, 而是具有外层理解水平的特点.回归的有效性取决于学习环境和学生的个人，特 别是当学生被鼓舞而回归内层收集特定的信息时，这种回归会变得更有效，因 为它具有探究解题方向的目的性.U1数学解题的冋归性是指学生的解题过程并 不是一定遵循着数学理解动态生长模型单向地由内向外发展，当学生解题思维 受阻时，学生思维就会折回内层理解水平，寻找解题的切入点和突破点. 教学片段1 在第（3）问中，E是椭圆的焦点吗?有的学生通过取通径与长轴两个特殊位置加 以计算，很快得出E不是椭圆的焦点（±2, 0）.教师接着追问:E不是椭圆的焦 点，那能不能先求出点E，再证明 为定值？（看到学生茫然四顾，教师接 着又追问）刚才大家判断E不是椭圆的焦点时，运用什么策略?学生回答:运用 的是“特殊探路，再证一般”的策略.教师启发:能不能“故伎重演”先求出点 E,再进行一般性证明？学生恍然大悟（忍俊不禁），解题思路峰回路转.在师生 共同努力下得到如下的解法一： 在观察评述阶段，教师提问：为什么 的结果与k无关?学生总结反思:那是 因为（*）式中分子与分母同时出现公因式1+t的缘故，这种求定值的方法我们 在证明一个数列为等差数列或等比数列时用过多次了.还有学生指出，如果设直 线AB的方程为 ，那又该如何处理?师生通过尝试、操作，确认处理 过程与上述解题过程类似，只是代入韦达定理时运算略复杂一些. 数学解题的超越性 数学理解动态生长模型只是给出了学生理解某一数学知识所经历的全过程.事实 上，各个层次的理解阶段是相互联系、相互影响的，前一阶段的理解是后一阶段 理解的前提与棊础;后一阶段的理解是前一阶段的理解的拓展与延伸.数学解题 的超越性是指外层理解水平包含了内层理解水平，并将内层理解水平协调统一 起来时，学生的解题思维就会从低层次向高层次发生质的飞跃，具有解题的预 见性、前瞻性. 教学片段2 在上述解法中，同学们运用了 “特殊探路，再证一般”的解题策略，找到了解 题的切入点，并得知 的结果之所以与t无关，那是因为（*）式中分子与 分母同时出现公因式1+t的缘故.如果大家不“特殊探路”，那能不能直接求出 的结果?教师的提问引发了学生的思考，经过大家的讨论、交流，有位思 维敏捷的学生给出Y深邃的见解:只要我们抓住问题的本质，就没有必要先“特 殊探路”，并在黑板上写出如下的解法二： 在观察评述阶段，师生共同对上述两种解法进行思考、讨论和对比，大家一致认 为两种解法的算理完全一样:若使 为定值，则分子与分母必然有相同的公 因式.解法一思路自然，但运算量较大;解法二简洁明了，但对学生的数学素养 要求较高. 数学解题的创造性 从一般意义上说，创造力是在人的心理结构整体背景和心理活动的最高水平上 所实现的向社会提供的具有首创性和社会价值的产物的综合能力.U1发现和发 明是创造力的主耍表现.对基础教育而言，什么是创造呢?教育家刘佛年指 出：“只要在学习中，有一点新意思、新思想、新观念、新设计、新意图、新做 法、新方法，就可称得上创造，我们要把创造的范围看得广一些，不要看得太神 秘.”在2000年教育部国家级骨干教师培训会上，罗增儒教授曾把“教育屮的 创造”概括为：“无中生有是创造，有中生新是创新”. 数学创造性思维既是逻辑思维与非逻辑思维的综合，乂是发散思维与收敛思维 辩证统一.U1现在心理学的研宄认为，创新能力=知识量X发散思维能力.另外， 人们通过实践还认为，数学新发现通常有特定模