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第二章 控制系统状态空间表达式的解 §2-1 线性定常齐次状态方程的解(自由解) §2-2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 §2-3 线性定常系统非齐次方程的解 §2-5 离散时间系统状态方程的解 §2-6 连续时间状态空间表达式的离散化 §2-1 线性定常齐次状态方程的解(自由解) §2-2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 一、状态转移矩阵 二、状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质 三、几个特殊的矩阵指数函数 四. ?(t)或eAt的计算 [例2-1] [例2-2] [例2-3] [例2-4] [例2-5] [例2-6] 例[2-7] §2-3 线性定常系统非齐次方程的解 [例2-8] §2-5 离散时间系统状态方程的解 [例2-11] §2-6 连续时间状态空间表达式的离散化 一、离散化方法 二、近似离散化 [例2-13] 作业:P77~P78 由式(2-55)和式(2-56)可以看到, 式中Gk或Gk-h相当于连续系统中的Φ(t)=eAt或 。 为离散时间系统的状态转移矩阵,很明显,它满足 (2-57) 定义 (2-58) 并具有以下性质: (2-59) (2-60) 利用状态转移矩阵Φ(k),离散时间状态方程式的解式(2-55)可以表示为 (2-61) 或 式(2-56)可写成 (2-62) 离散时间系统的状态方程 试求当初始状态 和控制作用为u(k)=1时, 此系统的Φ(k)和x(k)。 解 根据定义 按上式直接计算Φ(k)有一定困难,为此,将原状态方程变换成为约旦标准型,即将G变换为对角线型。 令 , 代入原式得 相应地有 (2-63) 又求得 从而容易求得 现按式(2-63)先求 ,等式右边第一项为 该式右边第二项为 数字计算机所处理的数据是数字量,它不仅在数值上是量化的,而且在时间上是离散化的。 如果采用数字计算机对连续时间状态方程求解,那么必须先将其化为离散时间状态方程。 在对连续受控对象进行计算机在线控制时,同样也有一个将连续数学模型的受控对象离散化的问题。 离散按一个等采样周期T的采样过程处理,即将t变为kT,其中T为采样周期,而 k=0,1,2,… 为一正整数。 输入量u(t)则认为只在采样时刻发生变化,在相邻两采样时刻之间,u(t)是通过零阶保持器保持不变的,且等于前一采样时刻之值,换句话说,在kT和(k+1)T之间,u(t)=u(kT)=常数。 C和D则仍与式(2-73)中的一样。 式中 (2-75) (2-76) 在以上假定情况下,对于连续时间的状态空间表达式 将其离散化后,则得离散时间状态空间表达式为 (2-73) (2-74) 证明 输出方程是状态矢量和控制矢量的某种线性组合,离散化之后,组合关系并不改变,故C和D是不变的。 这里只考察从t0=kT到t=(k+1)T这一段的响应并考虑到在这一段时间间隔内u(t)=u(kT)=常数, 确定G(T)和H(T) 从式(2-73)状态方程的解入手。其解按式(2-27)为 从而有 (2-77) 将式(2-77)与式(2-74)的状态方程相比较,可得 (2-78) 在式(2-78)中,令t=(k+1)T-?,则d?= -dt, 积分下限?=kT时,相应于t=T; 积分上限?=(k+1)T时,相应于t=0。 (2-79) 故式(2-78)可以简化为 在采样周期T较小时,一般当其为系统最小时间常数的l/10左右时,离散化的状态方程可近似表示为 (2-80) 也就是说 (2-81) (2-82) 证明 根据导数的定义 现讨论t0=kT到t=(k+1)T这一段的导数, 有 整理后,即得式(2-80)。 以此代入 中,得 试将下面状态方程离散化 解 (1) 按式(2-75)和式(2-76)计算 (2) 按式(2-81)和式(2-82)近似计算 (3) 将以上两种计算方法在不同采样周期T时的计算结果列表,如表2-1所示。 表2-1 采样周期对离散化的影响 可知在T=0.05时,两者已极为接近。 2-3,2-4 (2),2-5(2),2-6,2-9 3. 利用拉氏反变换法求eAt (2-21) 证明: 齐次微分方程 两边取拉氏变换 上式和式(2-3)比较,故有 对上式两边取拉氏变换,得齐次微分方程的解 解 同[2
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