第七章共形映射 复变函数论 教学课件.ppt

⑥惟一性条件的其它形式——3个实数参数 单连通区域D到单连通区域G的共形映射惟一性条件可为下面之一： Ⅰ f(a)=b 、 argf ?(a)=α (α ：实数) 。 其中：a?D ， b?G ——给定一内点的像和旋转角； Ⅱ f(a)=b 、 f(ξ)=η 。 其中：a?D，b?G；ξ??D，η??G ——给定一内点和一边界点的像； Ⅲ f(ξk)=ηk 其中： ξk??D，ηk??G (k =1，2，3) ξ1 、 ξ2 、 ξ3和η1、 η2、 η3的绕行方向一致， 保持D和G在绕行的同一边。 ——给定边界上3点的像。 选点的坐标为边界的弧长，则也为3个实数参数。 w=f(z)在z平面上解析,但不取w平面上简单弧c,则f(z)为常数. 解 由黎曼存在与惟一性定理， 存在单叶解析函数w1=f1(w) 将w平面- c变换为w1平面上单位圆|w1|1 . 则复合函数w1=f1(f(z))在z平面上解析， 且|w1|=|f1(f(z))|1， 由刘维尔定理得f1(f(z))为常数， 而f1(w)单叶， 此为刘维尔定理的推广， 当|f(z)|r， c取为|w|=r ， 由例题的结论得刘维尔定理。 例(P314例7.17) y x 0 z平面 w=L(z) v u 0 w平面 v1 u1 0 w1平面 |w1|=1 w1=f1(w) w1=f1(f(z)) 简单弧保证单连通区域 c 所以非常数， 故f(z)为常数。 ⒉边界对应定理 前面解决区域内部的共形映射问题，没涉及到区域的边界，下面给出相关的结论，也不证明。 ⑴边界对应定理 定理7.14 设 ①单连通区域D、 G分别为周线C 、 Г的内部； ②w=f(z)将D共形映射为G ， 则函数w=f(z)可扩张为F(z)： ①在D内， F(z)= f(z)； ②在D+C上，F(z) 连续； ③F(z) 将C双方单值连续地映射为Г 。 说明： ①内部可扩张到边界上； ②共形映射能使边界一一对应； ③共形映射能连续双方单值地开拓到边界上； ④前面介绍的三个重要的分式线性变换就说明了此。 ⑵单叶性原理 定理7.15 设单连通区域D、 G分别为周线C 、 Г的内部，且w=f(z)满足 ； ①在D内解析，在D+C连续； ②w=f(z)将C双方单值地映射为Г ， 则① w=f(z)在D内单叶； ② G=f(D)，即w=f(z)将D共形映射为G。 说明： ①为边界对应定理的逆，是解析函数单叶的充分条件； ②边界上的一一对应确定了区域内部的一一对应； ③边界对应确定映射函数； ④导数非0，局部单叶，单叶性原理给出的整体单叶的条件； ⑤上述两定理没涉及到区域的有界性。 问题： 多连通区域能共形映射为为单连通区域吗？ 像的连通性导致原像的连通，矛盾！ 不能！ 作业 (一) (二) 保域性 2 1、2 导数的几何意义 1 分式线性变换的不动点 5、6、7 分式线性变换的保交比 4 分式线性变换的保圆 3、5、6 3、4、9 平面?圆 7、9、10、12 圆?圆 8、11 8、10、13、14 幂函数、根式函数 14、16、17、18、19 两角形 13、15 存在与惟一性定理 11、12 小 结 五保——保域、保形、保圆、保交比、保对称 交比的计算、关于圆周对称点的计算 三个重要的变换： 分式线性变换 理论 解析函数保域 导数的几何意义 保角的条件 共形的概念 单叶的保域性 单叶的必要条件 单叶的保角性 单叶的共形性 反函数求导公式 共形存在与惟一性定理 惟一性条件 边界对应定理 单叶性原理 上半平面?下半平面 上(下)半平面?单位圆 单位圆?单位圆 章 ⒈分式线性变换及其分解 ⑴分式线性变换的概念 分式线性变换(函数)是指下列形状的函数： 其中 a,b,c,d是复常数，而且 ad-bc ≠0。记为w=L(z) 注解： ①条件 ad-bc≠0不可少，否则w=L(z) 为常数； ②在c=0时，也称它为整线性变换(函数)； ③在扩充复平面，补充定义： c≠0时， L(-d/c)=∞、 L(∞)= a/c ④逆变换(反函数)也是分式线性变换,为: 满足:(-a) :(-d)?(-a)-bc= ad-bc≠0 ⑤分式线性变换将扩充复平面单叶地变成扩充平面； ⑥分式线性变换在扩充复平面上除可去奇点和一阶极点外解析, 由保域定理的注解得分式线性变换在扩充复平面上是保域的； ⑦分式线性变换由德国数学家莫比乌斯(M?bius)提出,所以也称为莫比乌斯变换； ⑧分式线性变换的复合仍是分式线性变换 . c=0时， L(∞)=∞ ⑵分式线性变换的分解 ①分解 c=0时 c≠0时 则 分式线性变换w=L(z)可分解为以下二种类型变换的复合： Ⅰ整线性变换