第四章 平差数学模型.ppt

平差数学模型与最小二乘原理  本章主要内容： 1.测量平差的基本概念； 2.基本平差方法的函数模型建立； 3.参数估计与最小二乘原理。 4-1 测量平差概述 为何要进行测量平差？ 何时才进行测量平差？ 几个概念 必要元素：能够唯一确定一个几何模型所必需的元素，简称必要元素。（用t表示） 由于多余观测，将会使观测量真值之间产生一个几何或者物理的约束方程（即：函数模型）。 而观测值不可避免地存在偶然误差，使得约束条件因实际存在闭合差而并不满足； 如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达到消除闭合差的目的，这就是测量平差的主要任务！ 那么，一个测量平差问题又是怎样来达到消除闭合差的目的呢？ 首先要由观测值和未知量间组成函数模型； 然后采用一定的平差原则对未知量进行估计。 4-2 函数模型 函数模型：是描述观测量与观测量之间、观测量与未知量间的数学函数关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。 函数模型形式一般有以下几种： 1）观测值的数学期望之间的函数关系式； 2）观测值与待定参数的数学期望之间的函数关系式； 3）待定参数的数学期望之间的函数关系式。 建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法。 一、条件平差的函数模型 1、条件平差的函数模型： 观测值的数学期望之间的函数关系式,又称为条件方程。 2、条件平差： 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差方法。 条件方程的个数：等于多余观测数r，且r个条件式线性无关（独立）！ 条件方程的通式： 值得注意： *一个平差问题中，条件形式不唯一！ 选取形式最简为易！ *各条件式之间必需是独立的！ ｎ=6，t=3，r=3，故应列出3个线性无关条件方程： 思考：如果将第三个式换为 是否可行？ ｎ=6，t=4，r=2，故应列出2个线性无关的条件方程。 ｎ=5，t=2，r=3；列立3个函数模型： 二.间接平差的函数模型 函数模型的形式 观测值与待定参数的数学期望之间的函数关系式。 即：先选定t个独立参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，这种函数关系式称为“观测方程”。 观测方程的特点： 列立观测方程前需先选参数，且参数的个数等于必要观测数t。 t个参数独立（即不能存在确定的函数式）！ 观测方程的个数等于观测值的个数n。 一般表达式： 在测量控制网中，常采用待定点的坐标、待定点的高程为平差参数建立观测方程。 例.（1）确定t=3，故需选3个参数； （2）选网中三个待定点高程为平差参数 ： （3）则列立ｎ=6 个观测方程。为： 例.（1）t=2，选D，C点的高程为参数： （2）列立5个观测方程： 条件平差的函数模型： 先确定必要观测数t； 由r=ｎ-t求出多余观测r； 列立r个独立的条件方程（即观测量真值之间的几何条件式）。 即： 例：分别列立条件平差、间接平差的函数模型，并将其写成矩阵形式且用一般形式表示。 条件平差的条件方程为： 三.附有参数的条件平差的函数模型 列立下图附有参数的条件平差的函数模型. 附有参数的条件平差的函数模型的特点： 可以看出，它是“特殊的条件平差”； 它特殊在也选了参数，但又不同间接平差；参数的个数ｕ不能大于或等于t（0＜ｕ＜t）； 函数模型的总数ｃ且ｃ=r+ｕ； 函数模型由两大类构成： 一类是条件平差的条件方程； 另一类是含有参数的条件方程。 列立附有参数的条件平差的函数模型。 四.附有限制条件的间接平差的函数模型 写成矩阵形式为： 可见，矩阵形式的特点是有两类！ 特殊的间接平差，即仍要选参数，但参数的个数u＞t。 多选参数的个数s=u-t，这样，参数就不独立了，之间会产生函数式。 函数模型的构成： 一种是间接平差的观测方程 ； 另一是参数之间的条件方程 。 函数模型的个数= n+(u-t)。 函数模型通式： 附有参数的条件平差： 看成是特殊的条件平差； 特殊在需选参数，且独立； 参数个数ｕ：0＜ｕ＜t 函数模型的个数： ｃ=r+ｕ； 函数模型的类型： 1.按条件平差的条件方程、 2.含有参数的条件方程。 函数模型可表示为：  4-3 函数模型的线性化 在各种平差中，所列函数模型有线性的、也有非线性的； 在平差计算时，需将非线性方程转成线性方程----即：非线性函数模型线性化。 线