第六章 随机变量的生成 系统建模与仿真课件.ppt

第六章 随机变量的生成 进行随机仿真，必须要随机抽样，即产生服从一定分布的随机变量。若给出随机变量的分布函数F(x),，则可用各种方法生成服从该分布的随机变量。 1、 逆变法 2、 函数变换法 一、原理 对任一严格单调增的分布函数F(x)，其逆函数X=F-1(U)的分布函数为 若F(x)是随机变量X的严格单调的分布函数，其逆函数U=F(X)也是随机变量，0≤F(X)≤1，故0≤U≤1，于是对任一0≤u≤1有 逆变法 通过求随机变量的分布函数F(x)的逆函数，得到分布为F(x)的随机数。由于通过逆函数得到随机数，故称为逆变法。逆变法的步骤是： ①生成随机数； ②用逆函数产生随机变量。 二、均匀分布 在区间[a,b]上均匀分布U(a,b)，其概率密度函数f(x)及分布函数F(x)分别是： 则其逆函数为 用随机数发生器xi＝75xi-1 mod(231 -1)及Excel的随机数发生器产生随机数，据此试生成区间[3,5]服从均匀分布的随机变量，并比较两种结果。 解：①随机数发生器xi＝75xi-1 mod(231 -1)，ui=xi/(231-1)和Excel的随机数发生器产生随机数ui； ②由公式生成[3,5]的随机变量xi=3+(5-3)*ui，结果及随机变量与随机数的关系图如下。 三、指数分布 指数分布的概率密度函数及分布函数为 指数分布的概率密度函数及分布函数为 令u＝F-1(x)（u 为[0,1]均匀分布的随机数），即 解此方程，有 生成均值为3的指数分布随机变量。 解：利用Excel的随机数发生器产生 [0,1]区间的随机数u，由逆变法公式 得指数分布随机变量，计算结果如下 四、离散分布 X是离散随机变量，取值为x1,x2,…,xn，其概率分布为 分布函数为 x F(x) x1 x2 x3 0 x4 xn p1 p2 p3 p4 pn 1 离散分布随机变量的分布函数 计算离散分布随机变量的 步骤是： ①产生U(0,1)随机数； ②若u≤p1，则x = x1；否则当 时，x = xi，x是分布函数为F(x)的随机数。 用逆变法求离散分布 的随机变量。 解：先用随机数发生器xi＝75xi-1 mod(231 -1)产生随机数；比较所得随机数u与分布函数，若u≤p1，x = x1；否则当 时，x = xi，结果如下： 某产品的单位成本随市场随机波动，历史数据统计如下： 产品单位成本分布概率 试用逆变法产生随机变量。 序号 单位成本（元） 概率 1 43 0.10 2 44 0.20 3 45 0.40 4 46 0.20 5 47 0.10 逆变法须先求出分布函数的逆函数F-1，而有些分布函数的解析逆函数表达式难于求得，虽可用数值计算或幂级数展开求得F-1的近似表达式，往往因计算工作量过大而无法实现。 函数变换法 一、原理 若随机变量X具有密度函数f(x)，分布函数为F(x)，随机变量Y是X的函数Y＝g(X)，当逆函数x=g-1(y)=h(y)存在且连续的一阶导数时，随机变量Y的密度函数为p(y)=f[h(y)]|h’(y)|，由此算出其分布函数G(y)＝F[g-1(y)]，再用逆变法可得抽样公式Y=g(X)。 函数变换法是逆变法的推广。 函数变换法生成随机变量的一般步骤是： ①产生独立的F(x)的随机数x1，x2，…xn； ②由抽样公式，得随机数列yi=g(xi)（i=1，2，…，n）。 二、正态分布 正态分布的密度函数为 分布函数为 通过Z变换 ，有 令 则有 无法用逆变法直接从上式求得随机变量Z。可采用Box-Muller的函数变换法。先产生两个独立的标准正态分布Z1和Z2，因为Z1、Z2独立，故它们的联合密度函数为 令 代入，则有 联合密度函数f(r,θ)为r的函数与θ的函数之积,即 f(r,θ)=f1(θ)?f2(r) 其中： 只要产生随机数u1，u2∈U(0,1)，使θ =2πu1， 即得 通过Z变换 得到一般正态分布N(μ，σ2)随机变量： X1＝μ＋σZ1