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不可约多项式的判定及应用 摘 要 多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein判别法、Kronecker判别法、Perron判别法、Browm判别法等。研究了各判定方法的等价和包含关系。此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。 关键词 不可约多项式；判定方法；应用 Judgment and Application of Irreducible Polynomials Abstract The theory of polynomial is an important portion of advanced algebra. Irreducible polynomial is an important class of polynomials. We induce, in this paper, the judgment methods of irreducible polynomials over rational number field, and give some judgment methods of irreducible polynomials such as Eisenstein method, Kronecker method, Perron method and Browm method. The equivalence and inclusion relations between judgment methods are also investigated. In addition, we give some applications of irreducible polynomials. Key words Irreducible polynomial; Judgment method; Application 1.引言 众所周知，多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念。但是现行的高等代数课本在多项式部分都讲述了实数域上只有一次和两次的不可约多项式，复数域上只有一次的不可约多项式以及有理数域上存在任意次不可约多项式这么一个事实。但对有理数域上不可约多项式的判定方法, 却只介绍了艾森斯坦(Eisenstein)判别法。人们在对多项式进行研究时, 发现不可约多项式还存在另外的判定方法。 而通过学者们的研究发现，判断有理数域上的不可约多项式的问题最终都转化为了整数域上的不可约多项式的问题。对于常用的艾森斯坦判别法，并非总是有效的因为并非总存在满足判别法条件的素数。所以此方法有着一定的局限性。 随着人们研究的深入和发展，更多的判别法不断的产生。本文在现有的不可约多项式的判定方法的基础之上,把有理数域上不可约多项式的判定进行分类。并且研究了不可约多项式的一些实际应用。 2. 不可约多项式的概念及性质 2.1 整除的概念 设P是一个数域，对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式，存在，使得 成立，其中或者，并且这样的，是唯一决定的。 定义2.1 数域P上的多项式称为能整除，如果有数域P上的多项式使等式 = 成立，我们用“|”表示整除，用“”表示不能整除。 定理2.1 对于数域P上的任意两个多项式,,其中,|的充分必要条件是除的余式为零。 证明: 如果= 0那么=,即|。反过来，如果|，那么==+0，即= 0。 注1: 带余除法中必须不为零。 下面介绍整除性的几个常用性质: （1） 如果|,|,那么，其中为非零常数。 （2）如果|,|，那么|（整除的传递性）。 （3） |,|，那么 |， 其中是数域P上任意多项式。 2.2 本原多项式 若是一个整系数多项式的系数互素， 那么叫做一个本原多项式。 2.3 有理数域上多项式的等价 设有理数域上的一个多项式， 若的系数不全是整数，那么以系数分母的一个公倍数乘就得到一个整系数多项式。显然，多项式与在有理数域上同时可约或同时不可约。 2.4 多项式的不可约相关概念 在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数域而言，有例如下 把进行分解，可分解为 但这是相对于有理数域而言的，对于实数域来说还可分进一步为 而在复数域上，还可以再进一步分解为 由此可见，必须明确系数域后，所谓的不可再分，才有确切的涵义。 在下面的讨论中，仍然须选定一个数域P作为系数域，数域P上多