《任意角的三角函数》短篇课件 攸县一中汤庆平.pptVIP

攸县一中 汤庆平 1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ O a b M P c 1.2任意角的三角函数 O a b M P y x 2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ y x 2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ ﹒ ﹒ o 如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？ ﹒ ∽ M O y x P(a,b) 3.锐角三角函数（在单位圆中） 以原点O为圆心，以单位 长度为半径的圆，称为单位圆. y o x 1 M 2.任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 那么:（1） 叫做 的正弦，记作 ，即 ； （2） 叫做 的余弦，记作 ，即 ； （3） 叫做 的正切，记作 ，即 。 所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数. ﹒ 使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域. （1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点 横坐标的比值. 的横坐标， 交点的纵坐标与 . （2） 正弦、余弦总有意义.当 的终边在 横坐标等于0， 无意义，此时 轴上时，点P 的 （3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 三角函数可以看成是自变量为实数的函数. 正切就是 任意角的三角函数的定义过程： 直角三角形中定义锐角三角函数 直角坐标系中定义锐角三角函数 单位圆中定义锐角三角函数 单位圆中定义任意角的三角函数 例1 求 的正弦、余弦和正切值. 解：在直角坐标系中，作 ，易知 的终边与单位圆的交点坐标为 所以 思考：若把角 改为 呢? ， ， ﹒ ﹒ 例2 已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值 . 解:由已知可得 设角 的终边与单位圆交于 ， 分别过点 、 作 轴的垂线 、 ＼ 于是， ∽ 设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点， 点 与原点的距离 那么① 叫做 的正弦，即 ② 叫做 的余弦，即 ③ 叫做 的正弦，即 任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关. 于是， 练习 1、已知角 的终边过点 ， 求 的三个三角函数值. 解：由已知可得： 1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域 （弧度制） 三角函数 定义域 R 2.确定三角函数值在各象限的符号 y x o y x o y x o + （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） R + - - + - - + + - + - 例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时， 角 为第三象限角. ① ② 证明： 因为①式 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 又因为②式 成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限. 因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角. 反过来请同学们自己证明.