实对称矩阵的基准特征值及特征向量 含例题.pptVIP

一、对称矩阵的性质 *§3 实对称矩阵的特征值和特征向量 * * * §3 实对称矩阵的特征值和特征向量 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 定理3.9　对称矩阵的特征值为实数. 证明 本节所提到的对称矩阵, 除非特别说 明, 均指实对称矩阵． 于是有 两式相减，得 注 证明 于是 定理3.10 设l1, l2是对称矩阵的两个特征值, p1, p2是对应的特征向量. 若l1 ? l2, 则p1, p2正交. 定理3.11 设A为n阶对称矩阵, 则存在n阶正交矩阵Q, 使得Q?1AQ为对角矩阵, 对角元是A的n个特征值. 二、用正交矩阵将对称矩阵对角化的步骤 1) 作 求诸li, i = 1, 2, …, m 2) 解 得基础解系 3) 正交化得 4) 单位化得 5) 作正交矩阵 及 则 解 例3.5 正交矩阵Q, 使得Q?1AQ为对角矩阵. l1 = ?3(二重), l1 = 6. 将l1 = ?3代入(lE?A) x = 0, 得基础解系 a1 = (?2, 1, 0)T, a2 = (?2, 0, 1)T. 将其正交化： b1 = a1, 单位化： 将l2 = 6代入(lE?A) x = 0, 得基础解系 a3 = (1, 2, 2)T. 单位化： 则Q?1AQ = L. 例3.6 设三阶对称阵A的特征值l1 = 0, l2 = 1(二重). 属于l1的特征向量为a1 = (0, 1, 1)T, 求A. 解 对应于l2 = 1的线性无关的特征向量有两个, 设为a2, a3. 则a2, a3均a1与正交, 即满足 a1Ta = x2 + x3 = 0, a = (x1, x2, x3)T. 解之得基础解系 a2 = (1, 0, 0)T, a3 = (0, ?1, 1)T, 且已正交. 单位化： 且Q?1AQ = L. 则