传递闭包的算法及应用.doc

信阳师范学院学报 (自然科学版)第 12 卷 第 3 期 1999 年 7 月Jou rna 信阳师范学院学报 (自然科学版) 第 12 卷 第 3 期 1999 年 7 月 Jou rna l of X inyang T each e r s Co llege (N a tu ra l Science E d it ion)V o l. 12 N o. 3 J u l. 1999 传递闭包的算法及应用 α 侯云山1 , 许中华2 , 刘宏兵1 (1. 信阳师范学院 计算机系, 河南 信阳 464000; 2. 淮阳师范学校, 河南 淮阳 466700) 摘 要: 传递闭包是一种重要的关系运算。它在数据结构、编译理论和关系数据库中都有广泛 的应用。本文详细地探讨关系的传递闭包的概念、算法和应用。 关键词: 传递闭包; W A R SHA LL 算法; 语法分析 SQ L 中图分类号: O 157. 4; T P 311. 12 文献标识码: A 文章编号: 100320972 (1999) 0320347203 关系的运算包括关系的合成、关系的逆以及关系 的闭包运算等, 而在自反闭包、对称闭包和传递闭包 三种运算中尤以传递闭包最为复杂和重要, 由于一般 的教材只涉及到它的某个方面, 故难以令人对关系闭 包有一个比较完整和系统的认识。本文正是以此为出 发点, 力求给读者一个清晰全面的概念。 定义 设 R 为 A 上的二元关系, 如果有另一个 二元关系 R ′满足: a) R ′是传递的; b) 对任何传递的关 系 R ″, 如果有 R ″Β R , 就有 R ″Β R ′, 则称关系 R ′为 R 的传递闭包, 记作 t (R ). 一个传递关系 R 的传递闭包是 R 本身。 2 W a rsha ll 算法 求一个关系的传递闭包方法主要包括深度优先 有哪些信誉好的足球投注网站、W a r sh a ll 算法和二进位矩阵相乘法, 所有这些 算法在最坏情况下的时间复杂度为 o (n3 ) , 它们做不 同类型运算, 不同运算次数和不同形式输入数据工 作。我们这里主要讨论W a r sh a ll 算法 1 如果 A 上二元关系 R 用关系图表示, 则寻找关 系 R 的传递闭包 t (R ) 的元素相当于在有向图中插入 1 二元关系的传递闭包 设A 是一个含有元素 x 1 , x 2 , , x n 的有限集, 则 A 上的二元关系 R 是笛卡尔积 A ×A 的一个子集, R 中的任一序偶可写为 x i, x j ∈R 或 x iR x j。 关系可以用关系矩阵或关系图表示, 如果用关系 矩阵, 则关系 R 的关系矩阵M R 为 M R = rij ]n×n , i, j = 1, 2, 1, 若 x i , x j ∈R , n, 边。 特别是, 对已插入的一对边x ix k 和x k x j , 我们加进 rij = 0, 反之 边x ix j。这就是说, 如果我们已知对某个 k 有 x iR x k 和 x kR x j , 则能得出结论 x iR x j。 记M R 为 R 的关系矩阵,M t (R ) 为 R 的传递闭包 t (R ) 的关系矩阵, 则不难利用下述算法可以求出 t (R )。 11M t (R ) ←M R 2. fo r k = 1 to n 3. fo r i= 1 to n 如果 运用关系图, 则 R 的关系图构造如下: 在平 面上用 n 个结点分别表示 x 1 , x 2 , , x n. 如有 x iR x j , 则自结点 x i 至结点 x j 处作一有向弧, 箭头指向 x j. 下面看一下传递的定义: R 在A 上传递Ζ (x ∈A ∧y ∈A ∧z ∈A ∧x R y ∧y R z →x iR x j ). 有了传递的定义, 我们来进一步引入传递闭包的 定义: α 收稿日期: 1999203207 作者简介: 侯云山( 19732) , 男, ( 汉) , 河南省驻马店人, 信阳师范学院助教, 学士. HYPERLINK ki.ne/ ? 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. ki.ne 每个字母连续应用上述规则可能推出的头字符。显然 R 的关系矩阵为4. fo r j = 1 to nif rik = 1 and 每个字母连续应用上述规则可能推出的头字符。 显然 R 的关系矩阵为 4. fo r j = 1 to n if rik