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学号 姓名 成绩 《信号分析与处理中的数学方法》 考试题目： 1、叙述卡享南—洛厄维变换，为什么该变换被称为最佳变换，何为其实用时的困难所在，举例说明其应用。 2、最小二乘法的三种表现形式是什么？以傅里叶级数展开为例说明其各自的优缺点。 3、二阶矩有限的随机变量希尔伯特空间中平稳序列的预测问题的法方程称为关于平稳序列预测问题的yule-walker方程，试用投影法和求导法推导该方程。该方程的求解算法称为最小二乘算法，请对这些算法的原理予以描述。 4、简述卡尔曼滤波的原理，并指出其可能的应用。 5、什么是插值？有多少种插值，举一个教材之外的例子说明其应用。 叙述卡享南—洛厄维变换，为什么该变换被称为最佳变换，何为其实用时的困难所在，举例说明其应用。 形为λφs=0TCt,sφtdt Ct,s 使积分方程(1-1)有解的参数λ称为该方程的特征值，相应的解φt 固定一个变量t，则 (1-2) 表示以s为变量的函数关于正交系的傅立叶级数展开，而傅立叶系数正好是。 设为一随机信号，则其协方差函数 Ct,s=Ex 是一个非随机的对称函数，而且是非负定的。为了能方便地应用式(1-2)，假定是正定的，在多数情况下，这是符合实际的。当然，还假定在0，T× 现在用特征函数系作为基来表示： (1-4) 其中。因为是归一化正交系，所以展开式类似于傅里叶级数展开。但是因为是随机的，从而系数也是随机的，因此这个展开式实际上并不是通常的傅里叶展开。式(1-4)称为随机信号的卡享南-洛厄维展开。 因为这种变换能使变换后的分量互不相关，又能使均方误差最小，故被称作最佳变换。 设为维随机向量，存在这样一个正交变换，有 (1-5) 使得变换后的随机向量具有对角形的协方差阵，即 Cy=λ1λ2 其中为的特征值， 是相应的归一正交化特征向量组。上述矩阵所表示的正交变换称为卡享南-洛厄维变换。变换之后的随机向量的诸分量之间不再有相关性。 卡享南-洛厄维变换没有固定的变换矩阵，它依赖于给定的随机向量的协方差阵。正是这种变换的特点，也是它在实际使用时的困难所在，因为它需要依照不固定的矩阵求特征值和特征向量。 卡享南-洛厄维变换应用在数据压缩技术中。按照最优化原则的数据压缩技术可以解决通讯和数据传输系统的信道容量不足和计算机存储容量不足的问题。通过对信号作正交变换，根据失真最小的原则在变换域进行压缩。卡享南-洛厄维变换被选用并不是偶然的，因为这种变换消除了原始信号x的诸分量间的相关性，从而使数据压缩能遵循均方误差最小的准则实施。 2、最小二乘法的三种表现形式是什么？以傅里叶级数展开为例说明其各自的优缺点。 希尔伯特空间中线性逼近问题的求解方法称为最小二乘法。通常它有三种不同的表现形式：投影法、求导法和配方法。我们以傅里叶级数展开为例来说明。 投影法： 设为希尔伯特空间，为中的一组归一化正交元素，为中的某一元素。在子空间中求一元素，使得 (2-1) 由于中的元素可表示为的线性组合，那么问题就转化为求系数，使得 (2-2) 投影定理指出了最优系数应满足 (2-3) 由此即得。也就是说，当且仅当取为关于归一化正交系的傅立叶系数时式(2-2)成立。 求导法： 记泛函 (2-4) 为了便于使用求导法求此泛函的最小值，将它表为 (2-5) 其中。于是最优的应满足 即，或。 配方法： (2-6) ， 以上三种方法都称为最小二乘法。比较起来，从数学理论上讲，投影法较高深，求导法次之，配方法则属初等；从方法难度上讲，求导法最容易，投影法和配方法各有千秋；从结果看，配方法最好，因为它不仅求出了最优系数，而且由配方结果立即可知目标函数的极值。此外，配方法和投影法都给出了达到极小的充分和必要条件，但求导法给出的仅仅是极值的必要条件，如果是极值，还不知道是极大还是极小，故是不完整的。 通过以上的比较，我们不能简单地得出结论，说这三种方法孰胜孰劣。因为衡量一种方法好坏的标准是