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1.动点P到点M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为2,则点P的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支
C.两条射线 D.一条射线
【解析】选C.因为||PM|-|PN||=2,而|MN|=2,故P点轨迹为以M,N为端点向外的射线.
2.双曲线x2-y23
A.(2,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(1,0)
【解析】选B.由方程得c2=1+3=4,所以c=2.
3.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),P是双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程是( )
A.x22-y23=1 B.
C.x2-y24=1 D.x2
【解析】选D.设|PF1|=m,|PF2|=n(m0,n0),
在Rt△PF1F2中,m2+n2=(2c)2=20,m·n=2.
由双曲线的定义,知|m-n|2=m2+n2-2mn=16=4a2.
所以a2=4,所以b2=c2-a2=1.
所以双曲线的标准方程为x24-y
4.F1,F2是双曲线x29-y216=1的两个焦点,P在双曲线上且满足|PF1|·
∠F1PF2= .
【解析】设∠F1PF2=α,|PF1|=r1,|PF2|=r2(r10,r20).
所以r1r2=32,|r1-r2|=2a=6.
在△F1PF2中,由余弦定理,得(2c)2=r12+r22-2r1r
所以cosα=r
=(r1-r
所以α=90°.
答案:90°
5.根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)过点P3,154
(2)c=6,经过点(-5,2),焦点在x轴上.
【解析】(1)设双曲线方程为x2m-
所以9m-
所以所求双曲线方程为-x216+y29
(2)因为焦点在x轴上,c=6,
所以设所求双曲线方程为x2λ-y2
因为双曲线经过点(-5,2),所以25λ-46-λ=1,
所以λ=5或λ=30(舍去),
所以所求双曲线的方程是x25-y2
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