齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿).docVIP

.. 线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r(A)= r n ,若AX = 0（A为矩阵）的一组解为 ,且满足： (1) 线性无关; (2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称为AX = 0的基础解系. 称为AX = 0的通解 。其中k1,k2,…, kn-r为任意常数). 齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则 (1) 若齐次线性方程组AX = 0（A为矩阵）满足，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是. （注：当时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式.） 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于. 2、非齐次线性方程组的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组所对应的同解方程组。 由上述定理可知，若是系数矩阵的行数（也即方程的个数），是未知量的个数，则有： 当时，，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数 大于方程的个数就一定有非零解； （2）当时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式； （3）当且时，若系数矩阵的行列式，则齐次线性方程组只有零解； （4）当时，若，则存在齐次线性方程组的同解方程组； 若，则齐次线性方程组无解。 1、求AX = 0（A为矩阵）通解的三步骤 （1）（行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系; (3) 写出通解其中k1,k2,…, kn-r为任意常数. 【例题1】 解线性方程组 解法一：将系数矩阵A化为阶梯形矩阵 显然有，则方程组仅有零解，即. 解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A的行列式：，知方程组仅有零解，即. 注：此法仅对n较小时方便 【例题2】 解线性方程组 解：将系数矩阵A化为简化阶梯形矩阵 可得，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 （其中，，为自由未知量） 令，，，得； 令，，，得； 令，，，得， 于是得到原方程组的一个基础解系为 ，，. 所以，原方程组的通解为 （，，）. 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解（） 用初等行变换求解，不妨设前r列线性无关 其中 所以知 时,原方程组无解. 时,原方程组有唯一解. 时,原方程组有无穷多解. 其通解为，为任意常数。 其中：为AX = b导出组AX = 0的基础解系，为AX = b的特解， 【定理1】 如果是非齐次线性方程组AX=b的解，是其导出组AX=0的一个解，则是非齐次线性方程组AX=b的解。 【定理2】如果是非齐次线性方程组的一个特解，是其导出组的全部解，则是非齐次线性方程组的全部解。 由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为：　 其中：是非齐次线性方程组的一个特解，是导出组的一个基础解系。 【例题3】判断下列命题是否正确, A为m′n矩阵. (1)若AX=0只有零解,则AX=b有唯一解. 答:错, 因r(A)=n, r(A)= n = r(A |b)? (2)若AX=0有非零解,则AX=b有无穷多解. 答:错, 因r(A)n, r(A)= r(A |b) ? (3)若AX=b有唯一解,则AX=0只有零解. 答:对, r(A)= r(A |b) =n. (4)若AX=0有非零解,则ATX=0也有非零解. 答:错,A为m′n, r(A)=m n, r(AT)=m, 这时ATX=0只有零解. 例如A为3′4, R(A)=3 4, r(AT)=3=m. (5)若r(A)=r =m,则AX=b必有解. 答:对,r(A)=r =m= r(A|b) . (6)若r(A)=r =n, 则AX=b必有唯一解. 答:错,A为m′n,当mn时, 可以r(A |b) =n+1. ⑴ 唯一解： 线性方程组有唯一解 【例题4】 解线性方程组 解： 可见，则方程组有唯一解，所以方程组的解为 ⑵ 无解：线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现，则原方程组无解） 【例题5】解线性方程组 解：，可见，所以原方程组无解. ⑶ 无穷多解：线性方程组有无穷多解 【例题6】解线性方程组 解： 可见，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 （其中,为自由未知量） 令得原方程组的一个特