第四章_能带理论习题.ppt

固体物理学 固体物理 * 4.2 写出一维近自由电子近似，第n个能带（n=1,2,3）中，简约波矢 的零级波函数 一维近自由电子近似中，用简约波矢表示的波函数 第n个能带零级波函数 第四章能带理论习题 * 第一个能带 * 第二个能带 第三个能带 * 4.3 电子在周期场中的势能函数 且a=4b，?是常数。 1) 画出此势能曲线，并计算势能的平均值； 2) 用近自由电子模型，计算晶体的第一个和第二个带隙宽度 * * 势能的平均值 令 * 在近自由电子近似模型中，势能函数的第n个傅里叶系数 第一个带隙宽度 * 第二个带隙宽度 4.4 用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带 函数 面心立方晶格 —— s态原子能级相对应的能带函数 * —— 任选取一个格点为原点 —— 最近邻格点有12个 —— s原子态波函数具有球对称性 * 12个最邻近格点的位置 * —— 类似的表示共有12项 —— 归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的能带 * —— 对于体心立方格子，任选取一个格点为原点 —— 有8个最邻近格点 —— 最近邻格点的位置 * —— 类似的表示共有8项 —— 归并化简后得到体心立方s态原子能级相对应的能带 * 只计入最近邻格点原子的相互作用时，s态原子能级相对应的能带函数表示为 4.7 一维单原子链，原子间距a，总长度为L＝Na 1) 用紧束缚近似方法求出与原子s态能级相对应的能带函数 2) 求出其能带密度函数 的表达式 3) 如每个原子s态中只有一个电子，计算T=0K时的费密能级 和 处的能态密度 * 对于一维情形, 任意选取一个格点为原点 —— 有两个最近邻的格点，坐标为：a和－a 能带密度函数的计算 * 对于一维格子，波矢为 具有相同的能量，此外考虑到电子自旋有2种取向，在dk区间的状态数 * 能带密度 T=0K的费密能级计算 总的电子数 其中 * T=0K的费密能级 T=0K费密能级处的能态密度 * 由于能带的交叠，能带1中的部分电子转移到能带2中，而在能带1中形成空穴，讨论 时的费密能级 其中 为能带1的带顶， 为能带2的带底 4.9 半金属交叠的能带 * 半金属的能带1和能带2如图所示 能带1的能态密度 * 同理能带2的能态密度 * —— 半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带。由于能带交叠，能带1中的电子填充到能带2中，满足 * * 4.12 设有二维正方晶格，晶体势场 用近自由电子近似的微扰论，近似求出在布里渊顶角(?/a, ?/a)处的能隙 晶体布里渊顶角(?/a, ?/a)处的能隙 在近自由电子近似模型中，势能函数的第n个傅里叶系数 * 晶体势场 * 布里渊顶角 代入 * 布里渊顶角 处的能隙 例题：设晶格常数为a的一维晶格的周期性势场为 用自由电子近似的微扰论，近似地求出布里渊区边界?/a处的能隙 解： 把U(x)展开为复数傅立叶级数 发现傅立叶系数只有两个，即 而布里渊区边界?/a正好是第一布里渊的边界，能级在此发生分裂，分裂值为 考虑一个二维正方格子，其晶格势场为 用自由电子近似的微扰论，近似地求出布里渊区顶角（ ?/a， ?/a ）处的能隙 考虑一个二维正方格子，其晶格势场为 在U(x)展开为复数傅立叶级数时只有4个系数，即 V(1, 1), V(1, -1), V(-1, 1) 和V(-1, -1) 而布里渊区顶角（ ?/a， ?/a ）恰好为二维正方格子的第一布里渊区边界，能级在此发生分裂，分裂值为 固体物理学 固体物理