高考数学总复习之三角函数(完整版).docVIP

.. 三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角终边相同的角的集合 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是、、三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP= 余弦线OM= 正切线AT= 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系： 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 正弦 余弦 正切 余切 7. 两角和与差的三角函数 8. 二倍角公式——代换：令 降幂公式 半角公式：；； 9. 三角函数的图象和性质 函数 图象 定义域 R R 值域 最值 时 时 时 时 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为 周期为 周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上都是增函数；在 上都是减函数（） 在上都是增函数，在上都是减函数（） 在内都是增函数（） 10. 函数的图象变换 函数的图象可以通过下列两种方式得到： （1） （2） （二）数学思想与基本解题方法 1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。 3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。 4. 角的和与差的相对性 如：－ 角的倍角与半角的相对性 如： 5. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。 6. 数形结合：心中有图，观图解题。 7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。 8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。 【典型例题】 1. 如：（化成一个角的一个三角函数） [例1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？ （1） （2） 解： （1），， （2），， ， 2.“1”的妙用—— 熟悉下列三角式子的化简 ； [例2] 化简 。 答案： 3. 化异为同 [例3] 已知，求： （1） （2） 答案：（1）3；（2） [例4] 已知，求： 答案： 4. 与间的相互转化 （1）若，则；；= （2）若，则； （3） [例5] 化简： 。 答案： [例6] 若在第二象限，，求。 答案： 5. 互为余角的三角函数相互转化 若，则； [例7] 已知，则 。 答案： [例8] 求值： 。 答案： [例9] 求值： 。 答案： 6. 公式的变形及活用 （1） （2）若 [例10] 计算 。 答案： [例11] 。 答案： 7. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性 [例12] 若，则 。 答案：7 [例13] 若，则 。 答案： [例14] 在中，A为最小角，C为最大角，且，，求的值。 答案： 8. 角的范围的限定 由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。 [例15] 已知，求。 答案： [例16] 若是第二象限角且，求的值。 解法一：利用公式然后限定角的范围。 解法二：设利用平方和求的值，然后限定角的范围。 解法三：利用，可回避限定角的范围。 答案： 9. 在三角形中的有关问题 ；； 结论：； ； [例17] 已知A、B、C是的内角且，试判断此三角形的形状。 答案：等腰三角形，B=C [例18] 在锐角三角形ABC中，求证： 证明：由则 故 同理 三式相加，得证。 10. 形如的化简 [例19] 求值：（1） （2） 答案：（1）（2） 11. 三角函数图像和性质的应用 会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套”）；会解——简单的三角不等式、三角方程、比较大小。 [例20] 求下列函数的定义域。 （1） （2） 答案： （1） （2） [例21] 求下列函数的值域。 （1） （2）若是锐角，则的值域。 答案：（1） （2） 12. 可化为形如：的形式（一个角的一个三角函数） [例22] 已知函数，求“一套”。 答案：，定义域：R；值域：，，； 对称轴 增区间： 减区间： 13. 函数的图像的变换——两个题型，两种途径 题型一：已知解析式确定其变换方法 变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。 注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与的关系 题型二：由函数图像求其解析式 [例23] 已知函数，（，）在一个周期内，当时，有最大值为2，当时，有最小值为，求函数表达式，并画出函数在一个周期内的简图。（用五点法列表描点） 答案： 14. 可化为形如：，（定义域有限制的一元二次函数） [例24] 求函数的值域 解： [例