§6.3__置_换_群(离散数学).ppt

§6.3 置 换 群 6.3.1 置换的定义 6.3.2 置换的轮换表法 6.3.3 置换的顺向圈表示 6.3.4 置换的奇偶性 置换的例 设M={1，2，3}，则有3！=6个3元置换， 所有元素不动：σ1＝ 一个元素不动：σ2＝ σ3＝ σ4＝ 0个元素不动：σ5＝ σ6＝ 故，S3 = {σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6} 置换的乘法 对M中任意元素a及M的任意两个置换σ，τ，规定στ（a）=σ（τ（a））。 例. 设σ＝ ，τ＝ 则στ= ， τσ= ≠ στ 置换的乘法的性质 满足结合律：(στ)ρ=σ(τρ)，σ,τ,ρ∈ Sn。 Sn中有单位元: n元恒等置换，设为σ0，有：σ0τ=τσ0 ，τ∈Sn 每个n元置换在Sn 中都有逆元素: = 例. 设σ＝ ，τ＝ 求σ2，στ，τσ， σ-1， τ -1 。 并解方程σx=τ, y τ= σ. 解： σ2= = στ= τσ= σ-1= τ-1= x=σ-1 τ= y =στ-1= n次对称群 n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作成一个群，称为n 次对称群。 （n 次对称群的任一子群称为n 次置换群。 ） n=1，M={a}， S1={ }—在置换的乘法下作成1次对称群，为Abel群。 n=2, M={a，b}, S2={ , } 在置换的乘法下作成2次对称群，为Abel群。 当n≥ 3时， Sn不是Abel群。 6.3.2 置换的轮换表法轮换的定义 轮换. 设σ是M的置换，若可取到M的元素a1, …,ar 使 σ(a1)＝a2,σ(a2)=a3,…,σ(ar-1)=ar,σ(ar)=a1， 而σ不变M的其余的元素，则σ称为一个轮换， 记为 （a1 a2 … ar ） 例. σ= =（1 3 4）=（3 4 1）=（4 1 3） 可以把a1，… ，ar中的任意元素ai排在头一位而改写成 （ai ai+1 … ar a1 … ai-1） 结论：设（a1 a2 … ar ） 是M的轮换，则 （a1 a2 … ar ）-1 =（ ar … a2 a1 ） 证明：往证（ ar … a2 a1 ） （a1 a2 … ar ）=I 命χ为M的任意元 若χ∈｛a1,…,ar-1｝，设χ=ai，则 (ar … a2 a1)(a1 a2 … ar) (ai)=(ar…a2 a1) (ai+1)= ai 若χ= ar ,则 (ar … a2 a1)(a1 a2 … ar) (ar)= (ar … a2 a1)(a1)= ar χ?｛a1,…,ar｝，则(ar … a2 a1)(a1 a2 … ar) (x)=x 总之， (ar … a2 a1) (a1 a2 … ar)(x)=I(x)=x 即，（ ar … a2 a1 ） （a1 a2 … ar ）=I 同理， （a1 a2 … ar） （ar … a2 a1） =I 不相杂轮换 M的两个轮换 σ=(a1…ar)和τ=(b1…bs)说 是不相杂或不相交，如果 a1,…,ar和b1,…,bs都 不相同(即{a1,… ,ar}∩{b1,…,bs}= ?) 例.设M={1,2,3,4,5,6,7}， （1 3 4）与（6 3 7）是相杂轮换， （1 3 4）（6 3 7）=（1 3 7 6 4）， （6 3 7） （1 3 4）=（1 7 6 3 4）; （1 3 4）与（2 5）是不相杂轮换， （1 3 4）（2 5）= （2 5） （1 3 4） 不相杂轮换 结论：若σ和τ是M的两个不相杂的轮换， 则 στ=τσ. 证明：设σ=（a1…ar），τ=（b1…bs）， σ和τ不相杂。命χ为M的任意元. 若χ∈｛a1,…,ar｝，设χ=ai，则 στ(χ)=στ(ai)=σ(ai) = ai+1， τσ(χ)=τσ(ai)=