立体几何证明垂直专项含练习题与答案.docVIP

.. 立体几何证明------垂直 一.复习引入 空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。 （公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________. 直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行 直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_________________________. 两个平面的位置关系:_________,_________. 判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行. 线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义 判定 语言描述 如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥α 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形 条件 b为平面α内的任一直线，而l对这一直线总有l⊥α ⊥，⊥，∩＝B，?，? 结论 ⊥ ⊥ 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直） 知识点二、直线和平面垂直的性质 性质 语言描述 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行. 图形 条件 结论 知识点三、二面角 Ⅰ.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角. （简记） 二面角的平面角的三个特征: ⅰ. 点在棱上 ⅱ. 线在面内 ⅲ. 与棱垂直 Ⅱ.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：. 知识点四、平面和平面垂直的定义和判定 定义 判定 文字描述 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 图形 结果 α∩β=l α-l-β=90o α⊥β （垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼） 常用证明垂直的方法 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： 通过“平移”。 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 利用勾股定理。 利用直径所对的圆周角是直角 (1) 通过“平移”,根据若 PEDCBA1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥ P E D C B A 求证：AE⊥平面PDC. 2．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD， ∠PDA=45°，点E为棱AB的中点．求证：平面PCE⊥平面PCD； （第2题图） （第2题图） （2）利用等腰三角形底边上的中线的性质 3、在三棱锥中，，，，． （Ⅰ）求证：； A A C B P （3）利用勾股定理 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形， 求证:平面； _ _ D _ C _ B _ A _ P （4）利用直径所对的圆周角是直角 5、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC. （1）求证：平面PAC⊥平面PBC； 课堂及课后练习题： 判断下列命题是否正确，对的打“√”，错误的打“×”。 （1）垂直于同一直线的两个平面互相平行 （ ） （2）垂直于同一平面的两条直线互相平行 （ ） （3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直（ ） 已知直线a,b和平面，且则b与的位置关系是________________________________________________. 3.如图所示，在四棱锥中，,,,是的中点，是上的点，且,为中边上的高。 （1）证明：； 4.如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形底面ABCD, E为PC的中点, PA＝AD。 证明: ; 5.如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 o