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.. 解直角三角形在实际生活中的应用 山东 李浩明 在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.下面举例说明，供大家参考． 一、航空问题 例1．（2008年HYPERLINK 桂林市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为，B村的俯角为（如图1）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据） 图 图1 分析:要求A、B两个村庄间的距离,由题意知AB=PB，在Rt△PBC中,可求得，又因为PC=450，所以可通过解直角三角形求得PB. 解：根据题意得：，，所以，所以，所以AB=PB. 在中，，PC=450，所以 PB = . 所以(米) 答：A、B两个村庄间的距离为520米． 二、测量问题 例2.（2008年湛江市）如图2所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 米的C处，用测角仪测得旗杆顶部A的仰角为，已知测角仪器的高CD=米，求旗杆AB的高(精确到米) ． 图2 图2 E D C B A 分析:要求AB的高,由题意知可知CD=BE,先在Rt△ADE中求出AE的长,再利用AB=BE+AE求出AB的长. 解：在Rt△ADE中，ADE=. ∵DE=，ADE=. ∴AE=DEADE =≈=. ∴AB=AE+EB=AE+DC=. 答：旗杆AB的高为米． 三、建桥问题 例4.（2008年河南）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据：，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）. 分析:要求现在比原来少走多少路程，就需要计算两条路线路程之差，如图构造平行四边形，将两条路线路程之差转化为，作高线DH,将△ADG转化为两个直角三角形，先在在中求DH、GH，再在中求AD、AH,此题即可得解. 解：如图，过点作于，交于． ，四边形为平行四边形． HG图3∴，． H G 图3 ∴两条路线路程之差为． 在中， ， ． 在中， ． ． ∴． 即现在从地到地可比原来少走约4.9km． 四、图案设计问题 例4.（2008年上海市）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图4所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆的半径所在的直线为对称轴的轴对称图形，是与圆的交点．由于图纸中圆的半径的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中是坡面的坡度），求的值． 图4 图4 分析:要求圆的半径的值，需在直角三角形ODH中来解决,而已知的条件太少，需要先在直角三角形CEH中，根据条件、坡面的坡度求出、，然后在直角三角形ODH中利用勾股定理列出方程，从而求出的值． 解：由已知，垂足为点，则． ，． 在中，．设，， 又，得，解得．∴，． ∴，，． 在中，，∴． 解得． 航海中的安全问题 船只在海上航行，特别要注意安全问题，这就需要运用数学知识进行有关的计算，以确保船只航行的安全性.请看下面两例. 图1北60°30°D例1 （深圳市）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从处运往正东方向的处，在点处测得某岛在北偏东的方向上．该货船航行分钟后到达处，此时再测得该岛在北偏东的方向上，已知在岛周围海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由． 图1 北 60° 30° D 分析：问题的关键是弄清方位角的概念，过点C作CD⊥AB于D，然后通过解直角三角形求出CD的长，通过列方程解决几何问题也是一种常用方法. 解：由已知，得AB=24×=12，∠CAB=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，所以∠C=30°，所以∠C=∠CAB，所以CB=AB=12. 在Rt△CBD中，sin∠CBD=，所以CD=CB·sin∠CBD=12×.∵ 所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险． 例2 如图2，一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向上，这时渔船改变航线向正东（即BD）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？ F F F F A A A B B B D D D C C C M N K E 图2 图3 图4 分析：先将实际问题转化为解直