抛物线及其标准方程（2）.doc

高中数学教案 抛物线及其标准方程（2） PAGE PAGE 5 课 题：8．5抛物线及其标准方程（2） 教学目的： 1．能根据题设，求出抛物线的标准方程、焦点、准线 2．会用定义法、直译法、参数法，求与抛物线有关的动点的轨迹方程；使学生能熟练地运用坐标，进一步提高学生“应用数学”的水平 3．会判断直线与抛物线的位置关系；会求解与抛物线的焦点弦有关的问题. 教学重点：标准方程及其简单应用 教学难点：抛物线定义的灵活运用，解直线与抛物线有关的综合问题 教学方法：启发诱导法 教学过程： 一、复习引入： 1．抛物线的定义及其标准方程 图形 方程 焦点 准线 相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即 不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为 （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号 2．巩固练习： ①抛物线的焦点坐标是． ②抛物线上与焦点的距离等于的点的坐标是． ③抛物线上一点到焦点的距离是，则点到准线的距离是 ，点的横坐标是． ④抛物线的准线方程是，顶点在坐标原点，则它的焦点坐标是，标准方程是． 二、典型例题 例1．、是抛物线上的两点，满足（为坐标原点）： （1）求证：、两点的横坐标之积为定值； （2）直线经过一定点； （3）求线段的中点的轨迹方程． 解：（1）设所在直线方程为，则所在直线方程为，设，． 由方程组求得，同理得． ∴（定值），且（定值）． ∴、两点的横坐标之积为定值. （2）由（1）知当时，直线所在斜率， ∴所在直线方程：，即， 显然直线经过一定点．当或者时，点与点的横坐标都是，直线方程为，直线也经过一定点。 （3）设线段的中点为，则 ， 消去参数得，，即所求线段的中点的轨迹方程是． 例2．斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交与两点、，求线段的长． 解：如图，由抛物线的标准方程可知， 抛物线的焦点坐标， 所以直线方程为． ① 将方程①代入抛物线方程， 得． 化简得． （法一）解这个方程，得，． 将、的值代入方程①中，得，， 即、的坐标分别是、． ∴． （法二）根据抛物线的定义，等于点到准线的距离 即， 同理，于是得． 由上已知，，故．∴． 说明：设，，抛物线方程：，则焦点弦的计算公式：． （法三）． 例3点M与点F（4,0）的距离比它到直线的距离小1，求点M的轨迹方程 解析：可知原条件M点到F（4，0）和到x＝－4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x＝－4为准线的抛物线．∴ 所求方程是 三．课堂练习： 1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值 解析：由 M（-3，m）到焦点的距离等于5 M（-3，m）到准线的距离等于5 所求抛物线的方程为 2．根据下列条件写出抛物线的标准方程（　　　） （1）过点（－3，4） （2）过焦点且与x轴垂直的弦长是16 3．点M到点（0，8）的距离比它到直线y＝－7的距离大1，求M点的轨迹方程． 4．抛物线y2＝16x上的一P到x轴的距离为12，焦点为F，求｜PF｜的值． 答案：2．（1）或 （2）y2＝±16x 3．x2＝32y 4．13 四．课堂小结： 1．抛物线的定义在解题中的应用； 2．用坐标法求轨迹方程； 3．求曲线的交点和弦长问题. 五、板书设计（略） 六、课后演练： （一）．选择题（每小题2分，共4分） 1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是（　　　） (A) （0，） (B) （0，） (C) （，0） (D) （，0） 2．以椭圆的中心为顶点，左准线为准线的抛物线标准方程（　　）(A) y2＝25x (B) (C) (D) （二）．填空题（每小题2分，共4分） 3．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是　　　　　　　 4．平面上的动点P到点A（0，－2）的距离比到直线l：y＝4的距离小2，则动点P的轨迹方程是　　　　　　　 （三）．解答题（2分） 5．已知抛物线y2＝x上的点M到准线的距离等于它到顶点的距离，求P点的坐标． 测试题答案：1．B 2．A 3．x2＝8y 4．x2＝－8y 5．（，） 6．已知直线：，抛物线：， （1）求证：与抛物线必相交于两点；（2）求截得