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高中数学教案 抛物线及其标准方程(2)
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课 题:8.5抛物线及其标准方程(2)
教学目的:
1.能根据题设,求出抛物线的标准方程、焦点、准线
2.会用定义法、直译法、参数法,求与抛物线有关的动点的轨迹方程;使学生能熟练地运用坐标,进一步提高学生“应用数学”的水平
3.会判断直线与抛物线的位置关系;会求解与抛物线的焦点弦有关的问题.
教学重点:标准方程及其简单应用
教学难点:抛物线定义的灵活运用,解直线与抛物线有关的综合问题
教学方法:启发诱导法
教学过程:
一、复习引入:
1.抛物线的定义及其标准方程
图形
方程
焦点
准线
相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的,即
不同点:(1)图形关于X轴对称时,X为一次项,Y为二次项,方程右端为、左端为;图形关于Y轴对称时,X为二次项,Y为一次项,方程右端为,左端为 (2)开口方向在X轴(或Y轴)正向时,焦点在X轴(或Y轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在X轴(或Y轴)负向时,焦点在X轴(或Y轴)负半轴时,方程右端取负号
2.巩固练习:
①抛物线的焦点坐标是.
②抛物线上与焦点的距离等于的点的坐标是.
③抛物线上一点到焦点的距离是,则点到准线的距离是
,点的横坐标是.
④抛物线的准线方程是,顶点在坐标原点,则它的焦点坐标是,标准方程是.
二、典型例题
例1.、是抛物线上的两点,满足(为坐标原点):
(1)求证:、两点的横坐标之积为定值;
(2)直线经过一定点;
(3)求线段的中点的轨迹方程.
解:(1)设所在直线方程为,则所在直线方程为,设,.
由方程组求得,同理得.
∴(定值),且(定值).
∴、两点的横坐标之积为定值.
(2)由(1)知当时,直线所在斜率,
∴所在直线方程:,即,
显然直线经过一定点.当或者时,点与点的横坐标都是,直线方程为,直线也经过一定点。
(3)设线段的中点为,则
,
消去参数得,,即所求线段的中点的轨迹方程是.
例2.斜率为1的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交与两点、,求线段的长.
解:如图,由抛物线的标准方程可知,
抛物线的焦点坐标,
所以直线方程为. ①
将方程①代入抛物线方程,
得.
化简得.
(法一)解这个方程,得,.
将、的值代入方程①中,得,,
即、的坐标分别是、.
∴.
(法二)根据抛物线的定义,等于点到准线的距离
即,
同理,于是得.
由上已知,,故.∴.
说明:设,,抛物线方程:,则焦点弦的计算公式:.
(法三).
例3点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小1,求点M的轨迹方程
解析:可知原条件M点到F(4,0)和到x=-4距离相等,由抛物线的定义,点M的轨迹是以F(4,0)为焦点,x=-4为准线的抛物线.∴
所求方程是
三.课堂练习:
1、已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值
解析:由 M(-3,m)到焦点的距离等于5
M(-3,m)到准线的距离等于5
所求抛物线的方程为
2.根据下列条件写出抛物线的标准方程( )
(1)过点(-3,4)
(2)过焦点且与x轴垂直的弦长是16
3.点M到点(0,8)的距离比它到直线y=-7的距离大1,求M点的轨迹方程.
4.抛物线y2=16x上的一P到x轴的距离为12,焦点为F,求|PF|的值.
答案:2.(1)或 (2)y2=±16x
3.x2=32y 4.13
四.课堂小结:
1.抛物线的定义在解题中的应用;
2.用坐标法求轨迹方程;
3.求曲线的交点和弦长问题.
五、板书设计(略)
六、课后演练:
(一).选择题(每小题2分,共4分)
1.抛物线y=2x2的焦点坐标是( )
(A) (0,) (B) (0,) (C) (,0) (D) (,0)
2.以椭圆的中心为顶点,左准线为准线的抛物线标准方程( )(A) y2=25x (B) (C) (D)
(二).填空题(每小题2分,共4分)
3.顶点在原点,焦点在y轴上,且过点P(4,2)的抛物线方程是
4.平面上的动点P到点A(0,-2)的距离比到直线l:y=4的距离小2,则动点P的轨迹方程是
(三).解答题(2分)
5.已知抛物线y2=x上的点M到准线的距离等于它到顶点的距离,求P点的坐标.
测试题答案:1.B 2.A 3.x2=8y 4.x2=-8y 5.(,)
6.已知直线:,抛物线:,
(1)求证:与抛物线必相交于两点;(2)求截得
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