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冲刺中考数学压轴题汇编(含解题过程)
(2009年重庆市)26.已知:如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF=2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
26题图
26题图
y
x
D
B
C
A
E
E
O
26.解:(1)由已知,得,,
,
.
. (1分)
设过点的抛物线的解析式为.
将点的坐标代入,得.
将和点的坐标分别代入,得
(2分)
解这个方程组,得
故抛物线的解析式为. (3分)
(2)成立. (4分)
点在该抛物线上,且它的横坐标为,
yxDBCAEE
y
x
D
B
C
A
E
E
O
M
F
K
G
G
设的解析式为,
将点的坐标分别代入,得
解得
的解析式为. (6分)
,. (7分)
过点作于点,
则.
,
.
又,
.
.
. (8分)
.
(3)点在上,,,则设.
,,.
①若,则,
解得.,此时点与点重合.
. (9分)
②若,则,
解得 ,,此时轴.
与该抛物线在第一象限内的交点的横坐标为1,
点的纵坐标为.
. (10分)
③若,则,
解得,,此时,是等腰直角三角形.
yxDBCAEE
y
x
D
B
C
A
E
E
O
Q
P
H
G
G
(P)
(Q)
Q
(P)
则,设,
.
.
解得(舍去).
. (12分)
综上所述,存在三个满足条件的点,
即或或.
(2009年重庆綦江县)26.(11分)如图,已知抛物线经过点,抛物线的顶点为,过作射线.过顶点平行于轴的直线交射线于点,在轴正半轴上,连结.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点从点出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线运动,设点运动的时间为.问当为何值时,四边形分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?
xyMCDPQOAB(3)若,动点和动点分别从点和点同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为,连接,当为何值时,四边形的面积最小?并求出最小值及此时的长.
x
y
M
C
D
P
Q
O
A
B
*26.解:(1)抛物线经过点,
1分
二次函数的解析式为: 3分
(2)为抛物线的顶点过作于,则,
4分
xy
x
y
M
C
D
P
Q
O
A
B
N
E
H
当时,四边形是平行四边形
5分
当时,四边形是直角梯形
过作于,则
(如果没求出可由求)
6分
当时,四边形是等腰梯形
综上所述:当、5、4时,对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形. 7分
(3)由(2)及已知,是等边三角形
则
过作于,则 8分
= 9分
当时,的面积最小值为 10分
此时
11分
(2009年河北省)26.(本小题满分12分)
ACBPQED图16如图16,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P
A
C
B
P
Q
E
D
图16
(1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是 ;
(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与
t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成
为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由;
(4)当DE经过点C?时,请直接写出t的值.
AC)B
A
C
)
B
P
Q
D
图3
E
)
F
(2)作QF⊥AC于点F,如图3, AQ = CP= t,∴.
由△AQF∽△ABC,,
得.∴.
ACBPQ
A
C
B
P
Q
E
D
图5
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图6
G
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图7
G
A
C
B
P
Q
E
D
图4
即.
(3)能.
①当DE∥QB时,如图4.
∵DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,四边
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