多元函数微分学(1).ppt

题型 1 求二元函数的极限 题型 2 求多元函数的偏导数与全微分 题型 3 多元函数的极值与最值问题 即 例 11 设函数 f (u, v) 具有二阶连续偏导数, 且满足 解 又 求 例 12 设函数 z = z (x, y) 由方程 所确 定, 试求 解法 1 利用隐函数求导公式. 令 则 解法 2 方程两边分别对 x, y 求导, 得 解得 解法 3 由所给方程的两边求全微分, 得 即 解得 例 13 试证由方程 所确定的 函数 z = z (x, y) 满足 证明 令 则 例 14 设函数 z = z (x, y) 由方程 所确定, 证明 证明 令 则 解题思路 (1) 利用函数极值的定义讨论函数的 极值 (如例 1); (2) 求函数的无条件极值 (如例 2 ~ 3); (3) 利用拉格朗日乘数法求条件极值 (如例 4 ~ 7). * 微积分Ⅰ * 第八章 多元函数微分学 【多元函数微分学】习题课 一、主要内容 二、典型例题分析 一、主要内容 1、区域 (1) 邻域 (2) 区域 连通的开集称为区域或开区域. (3) 聚点. (4) n 维空间. 2、多元函数概念 (1) 二元函数. (2) 当 n ≥ 2 时, n 元函数统称为多元函数. 3、多元函数的极限及求法 注意: 定义中 P → P0 的方式是任意的. 4、多元函数的连续性 (1) 最大值和最小值定理; (2) 介值定理. 5、多元连续函数的性质 6、偏导数概念及求法 7、高阶偏导数及求法 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 8、全微分概念及求法 9、多元函数连续、偏导存在、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 偏导存在 10、复合函数求导法则 (1) 复合函数的中间变量均为一元函数的情形; (2) 复合函数的中间变量均为多元函数的情形; (3) 复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形. 11、全微分形式不变性 12、隐函数的求导法则 13、多元函数的极值与最值 (1) 定义及求法 (2) 条件极值及求法. 二、典型例题分析 解题思路 (1) 利用多元初等函数的连续性求二元 函数的极限 (如例 1); (3) 利用夹逼定理求二元函数的极限 (如例 3); (2) 利用变量替换将求二元函数极限的问题转化为 求一元函数极限的问题 (如例 2); (4) 判定二元函数的极限不存在 (如例 4). 例 1 求极限 解 例 2 求极限 解 解 例 3 求极限 例 4 判定极限 是否存在. 解 不存在. (4) 利用多元复合函数的求导法则求函数的全导数 或偏导数 (如例 6 ~ 11); (5) 用隐函数的求导公式求偏导数 (如例 12 ~ 14). 解题思路 (1) 已知二元函数的偏导数, 求二元函 数 (如例 1); (3) 利用全微分的概念求函数的全微分 (如例 4 ~ 5); (2) 利用偏导数的概念求函数的偏导数 (如例 2 ~ 3); 例 1 设 z(x, y) 满足 求 z (x, y). 解 两边对 x 积分, 得 代入题设条件, 得 其中 ? (y) 为待定函数. 例 2 设 求 . 解 例 3 设 求 . 解 例 4 求函数 的全微分. 解 例 5 设 z = z(x, y) 是由方程 所确定的函数, 其中 具有二阶导数且 , (1) 求 dz ; (2) 记 , 求 . 解 (1) 由所给方程的两边求全微分, 得 (2) 解 例 6 设函数 u (x) 由方程组 所确定, 且