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市优质课评选教案
市优质课评选教案
§3.2 一元二次不等式及其解法
山东沂源二中
石玉台
2011.10.11
教学目标
?知识目标:熟练掌握一元二次不等式的解法;理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系.
能力目标:培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力.
德育目标:通过等与不等的对立统一关系的认识,对学生进行辨证唯物主义教育.
情感目标: 在自主探究与讨论交流过程中,培养学生的合作意识和创新精神.
教学重点:一元二次不等式的解法.
教学难点:一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系.
教学过程:
?(一)引入新课
请同学们做一个手工:
1、拿出一张纸,在上面画出一个直角坐标系,并带上相应的刻度。
2、沿x轴方向上下对折这张纸。
3、观察:x轴上方的y值;x轴下方的y值;它们的值有何特点?
结论:
X轴上方的y值为正值,即y0(y0的点位于x轴上方);
X轴下方的y值为负值,即y0(y0的点位于x轴下方)。
(二)讲授新课
请在刚才的坐标系中画出y=x2-7x+6的图像
问题1:
(1)x轴上方有无图像?若有请用红线描出。这部分图像对应的y值如何?
(2)x轴下方有无图像?若有请用蓝线描出。这部分图像对应的y值如何?
(3)红线与蓝线有无交点?若有请用绿色标出。
(4)你能找出上述各种情况的x的取值范围吗?请在图中写出。
y0,即x2-7x+60;
y0,即x2-7x+60。
问题2:你能说一说这两个不等式有何共同特点么?
上述两个不等式的共同特点:
(1)含有一个未知数x;
(2)未知数的最高次数为2。
一般地,只含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的不等式,叫做一元二次不等式。
问题3:判断下列式子是不是一元二次不等式?
?一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c0 (a≠0),或ax2+bx+c0 (a≠0),其中a,b,c均为常数。
问题4:一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程之间有何联系呢?一元二次不等式如何求解呢?
引导学生运用解决问题的方法,画出二次函数y=ax2+bx+c的图象求解.并请学生说出不等式ax2+bx+c0的解集和方程ax2+bx+c=0的解集,同时注意一元二次方程、一元二次不等式和二次函数有什么关系?(“三个二次”关系).
思考:
如何求一元二次不等式x2-7x+6 0的解集?
通过多媒体演示后得出不等式x2-7x+6 0的解集。
问题5:你能写出不等式x2-7x+6 0的解集么?
通过上述两问题同学们共同总结出:方程的解即函数图象与x轴交点的横标,不等式的解集即函数图象在x轴下方或上方图象所对应x的范围。
问题6:y= ax2+bx+c(a0)与x轴的交点情况有哪几种?
引导学生分三种情况(△>0,△<0,△=0)讨论一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0 )与ax2+bx+c<0(a>0)的解集.
三个二次
△0
△=0
△0
y=ax2+bx+c(a0)图 象
ax2+bx+c=0(a0)根
x=x1 或x=x2
x1=x2=
无 解
ax2+bx+c0(a0)解 集
{x|xx1或xx2}
{x|x≠? }
R
ax2+bx+c0(a0)解 集
{x|x1xx2}
φ
φ
(三)典型例题
例1. 解不等式 2x2-3x-2 0
解略
例2.解不等式 -x2 +2x-3 0
解略
有上述例题表明,一元二次不等式的解集可以画出对应二次函数的图象写出.并总结出解一元二次不等式的步骤:
一化:化二次项前的系数为正(a0).
二判:判断对应方程的根.
三求:求对应方程的根.
四画:画出对应函数的图象.
五解集:根据图象写出不等式的解集.
(四)课堂练习
练习一:解下列关于x的不等式
?
(8)不等式3xx2的解集是( )
(A){x| x3} (B){x| x0或x3}
(C){x| 0x3} (D)R
(9)二次函数 的部分对应值如下表:
?x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则不等式 的解集是( )
(A){x| x3} (B){x| x-2或x3}
(C){x| -2x3} (D){x| -2x2}
练习二:
(1)x2+x+k0恒成立,求k的取值范围.
(2)ax2+bx+c0(a≠0)恒成立的条件为??????????? .
? ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立的条为??????????? .
(3)(x-a)(x-a2)0
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