向量的加法运算及其几何意义.ppt

* * 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1向量加法运算及其几何意义 1、什么是向量? 既有大小又有方向的量叫做向量。 2、向量的表示： 等。 （2）用带箭头的字母表示：如 、 、 （1）用有向线段表示：如 AB AC BC 、 、 等； 3、什么是平行向量？(共线向量) ∥ ∥ 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量， 记作： 4、相等向量： 记作： 长度相等且方向相同的向量， = 由于台北和上海没有直航，因此春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海, 则飞机的位移是多少? 上海 台北 香港 上海 台北 香港 + = 如图：若记 则向量 叫做向量 与 的和，记为 。 O A B 问题1：如图所示的三个向量，你们能给出它们所满足的等式吗？ ,即 向量为向量 与 的和。 O A B 由此，我们能概括出一般的两个向量与和的定义吗？ b a ● A B C 讨论：（1）平移的目的是什么？ （2）平移后两个向量的终点与起点有何关系？ （3）和向量又是什么？ 一、向量加法的定义: 求两个向量和的运算叫向量的加法。 二、求向量和的方法 1、三角形法则 (注意:两个向量的和仍是一个向量) 作法:（1）在平面内任取一点O o· A B 例1：已知向量 、 ，求作向量 + 作法1： 三角形法则 OA = OB = （2） ， (3)则 。 注意： (1)起点的任意性； (2)“首尾相接,首尾连”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第 一个向量的起点指向第二个向量的 终点的向量即为和向量。 （3）和向量是三角形的一条边. 还有没有其他的做法？ 2、平行四边形法则 如图(a)，表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了EO；图(b)表示撤去F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条 沿着相同的方向伸长相同 的长度。 改变力F1与F2的大小和方向，重复以上的实验，你 能发现F与F1、F2之间的关系吗? 解: F1+F2=F （1）在平面内任取一点O， OC = OA + OB + = OA = OB = （2）作 ， ，以OA、OB 为邻边做 OACB， （3）连接OC，则 (1)起点的任意性； (2)向量的起点放在一起; 注意： o· A B C 作法: (3)和向量是平行四边形的对角线. 思考：平行四边形法则有何特点？ 平移两个向量至共起点，连对角。 A B C (1)同向 (2)反向 A B C = + 2.零向量和任一向量 的和是什么? 练习1：如图：已知向量 、 用向量加法的三角形法则作出 。 (1) （2） (3) (4) ● O 练习2：如图，已知 、 ，用向量加法的平行四边形法则作出 。 (1) (2) ● O 性 质 向量的加法 实数的加法 思考：实数的加法有哪些运算性质？向量的加法是否也满足类似的性质？如果满足，具体形式是什么？ （1）向量加法的交换律： A B D C 证明：（1）如图，作 ， ，以AB、AD为邻边作 ABCD, 则 ， 因为 ， 所以 A C D B （2）向量加法的结合律： (2) 证明：如图：使 ， ， 则 ， 所以 做法：使前一个向量的终点为后一个向量的起点， 可以推广到n个向量相加。 (首尾相接，首尾连） 推广1： 推广2：