第二章变形体虚位移原理.ppt

图2-7 示意图 忽略轴向变形和剪切变形，则由杆件应变能公式 （2-28） 显然对单位求和，可以得到结构的总应变能。由于单元位移是结点位移 、 、 的线性表达式，因此从式（2-28）可知，总应变能一定是结点位移 、 、 的二次型 （2-29） 对线弹性结构，根据能量守恒，应变能等于外力功，因此 (a) 这里 应该是和 对应、作用在结点的等效广义力。对比式 （2-29）和（a）可知 (b) 类似的分析，从外力势能定义可知， （或 ）必然是 的线性表达式， （2-30） 式中： 的物理意义是荷载引起的 方向固端广义力总和。今后 同样可直接从这一物理意义来求 ，从而建立外力总势能表达式。 有了式（2-29）和（2-30），立即可得结构总势能为 （2-31） 令总势能对位移的变分等于零，也即偏导数 ，可得 （2-32） 可见这一结果与结构力学的位移法方程完全相同。 能量法求解举例 【例题2-1】用最小势能原理求解图2-28a所示结构的结点位移，各杆EI等于常数。 图2-28 （1）结构只有图2-28b所示一个结点转角 ，以它为参数。 （2）根据刚度系数 的物理意义和形常数，可得 （3）计算应变能 ，由式（2-25）可得 （4）按 的物理意义和载常熟可得 （5）写总势能表达式，可得 （6）由极值条件可求得 2-3-3 里兹法 此法的基本思路（也即求解步骤）是： 选定满足给定位移边界条件的、独立的一些函数作为“基函数”（或称为试函数）。 以基函数的线性组合作为待确定的近似位移场，组合系数称为广义坐标。 当用最小势能原理时，由建立的位移场将总势能表示成广义坐标的函数。 由总势能取驻值（对广义坐标的偏导数为零），对线弹性问题建立求解广义坐标的线性代数方程组。 将求得的广义坐标代回位移场，一般得到问题的位移近似解答，进一步可由位移求得其他物理量。 用虚位移原理求解时，前两步是一样的。 用广义坐标的变分作组合系数，以同样的基函数建立虚位移场，用几何方程求虚应变（杆系问题时为虚变形）。 由基函数线性组合的位移场求应变、应力（对杆系问题求内力）。 令虚功方程对一切广义坐标变分都成立，对线弹性问题建立求解广义坐标的线性代数方程组。 将求得的广义坐标代回位移场，一般得到问题的位移近似解答，进一步可求得其他物理量。 用虚位移原理求解 【例题2-2】试用里兹法求图2-9所示梁的位移和固定端弯矩。（当然对本例题所示悬臂 梁也可用材料力学的挠曲线微分方程二次积分法来求解）。 图2-9 解：对于梁，虚位移原理虚功方程为 （a） 首先，选择满足位移边界条件的“基函数”。 对图示梁最简单的是取 等。由此可 设梁的挠曲线为 式中 ， ， 等即为广义坐标。显然，通过式（a）将本来是无限自由度的 问题，化成了只有有限个广义坐标的有限自由度问题。 然后，设虚位移为 （b） 由式（a）和（b）可得 （c） （d） 为了利用虚功方程，根据设定的挠曲线虚位移，还要计算外力总虚功 （e） 和总虚变形功（或称为内力功） （f） 最后，令虚功方程恒成立，由于虚广义坐标的任意性、独立性，即可求得广 义坐标。如果只取级数一项，则式（e）、（f）中只出现 项，因此可得 如果只取级数两项，则式（e）、（f）中只出现 ， 项，因此可得 从（g），（h）可看出如下结论： ·弯矩不能满足平衡条件（可验证取三项时是精确解）。 ·位移的精度比弯矩高，用图乘法计算B点的挠度，可以证明式（h）结果是精确的。 ·广义坐标越多越精确，但工作量也越大。理论上说，只要选取完备的基函数集合， 里兹法的结果是精确的。 第2章 变形体虚位移原理 在结构力学中已经学过变形体的虚功原理，并利用它推导了位移计算公式、线弹性体的互等定理等。 当变形体虚功原理的前提条件改变为：力系给定、虚位移完全任意时，其结论也发生改变：虚功方程恒成立是给定力系平衡的充分必要条件。由于前提、结论都变了，因此这一变化后的原理称为变形体虚位移原理。由变形体虚位移原理作一定的变换，可导出以能量形式表示的平衡条件，这就是弹性体最小势能原理。用它们可推得位移法方程、求得受力和变形的近似解（里兹法）。 2