高三课件 立体几何中的向量方法黑白版.ppt

* * 3.2 立体几何中的向量方法（一） 思考1： 如何确定一个点在空间的位置？ 答：空间中任意一个P的位置可以用向量OP 来表示。 向量OP称为点P的位置向量。 思考2： 在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？ 答：空间中任意一条直线l的位置可以由l上 一个定点A以及一个定方向（向量）确定。 思考3： 给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？ 答：空间中平面的位置可以由平面内两条相 交直线来确定。 a l a 思考4： 给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？ 给定一个点A和一个 向量a,过点A，以向 量a为法向量的平 面是完全确定的。 方法指导： 怎样求平面法向量？ 一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题。推导平面法向量的方法如下： 设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β 的法向量分别为u,v,则 线线平行：l∥m a ∥b a=kb; 线面平行：l ∥α a⊥u a·u=0; 面面平行：α∥β u ∥v u=kv. 线线垂直：l ⊥ m a ⊥ b a·b=0; 面面垂直：α ⊥ β u ⊥ v u·v=0. 线面垂直：l ⊥ α a ∥ u a=ku; 二、讲授新课 1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （化为向量问题） （进行向量运算） （回到图形问题） 例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1 B1 C1 D1 A B C D 图1 解：如图1，设 化为向量问题 依据向量的加法法则， 进行向量运算 所以 回到图形问题 这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。 思考： （1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗? A1 B1 C1 D1 A B C D 分析: 分析: ∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。 （3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离） A1 B1 C1 D1 A B C D H 分析：面面距离 回归图形 点面距离 向量的模 解： ∴ 所求的距离是 练习: 如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长。 O A B C D E 图2 例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：如图， 化为向量问题 根据向量的加法法则 进行向量运算 于是，得 设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。 因此 A B C D 图3 所以 回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为 例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 思考： （1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知， 其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ A B C D 图3 分析： ∴ 可算出 AB 的长。 *